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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 109

Considere o campo de escoamento representado pela função potencial φ = A x 2 + B x y - A y 2 . Verifique se esse é um escoamento incompressível, e determine a função de corrente correspondente.

Passo 1

Vamos começar verificando se o escoamento é incompressível para isso vamos testar a seguinte equação:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Para isso precisamos das funções velocidade, conseguiremos elas nos baseando em um escoamento irrotacional, beleza? As equações são as seguintes:

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

u = - ∂ φ ∂ x v = - ∂ φ ∂ y

Como temos a função potencial, podemos encontrar as funções velocidade. Partiu!!

u = - ∂ ∂ x ( A x 2 + B x y - A y 2 ) v = - ∂ ∂ y ( A x 2 + B x y - A y 2 )

u ( x , y ) = - 2 A x - B y v = - B x + 2 A y

Show! Agora nós podemos testar se o escoamento é incompressível!

Passo 2

Vamos lá!

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ ( - 2 A x - B y ) ∂ x + ∂ ( - B x + 2 A y ) ∂ y = 0

- 2 A + 2 A = 0

Concluímos o teste! Nosso escoamento é incompressível!

Passo 3

Agora só precisamos encontrar a função de corrente! Estamos quase lá!

u = ∂ ψ ∂ y v = - ∂ ψ ∂ x

ψ ( x , y ) = ∫ u ( x , y ) d y ψ ( x , y ) = - ∫ v ( x , y ) d x

ψ ( x , y ) = ∫ ( - 2 A x - B y ) d y ψ ( x , y ) = - ∫ ( - B x + 2 A y ) d x

ψ ( x , y ) = - 2 A x y - B y 2 2 + f ( x ) ψ ( x , y ) = B x 2 2 - 2 A x y + f ( y )

Resposta

O escoamento é incompressível.

Sua função de corrente é ψ ( x , y ) = - 2 A x y - B y 2 2 + B x 2 2

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