Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 79
Considere o seguinte campo de velocidade permanente, bidimensional, incompressível: , onde é uma constante. Calcule a pressão em função de x e y.
Passo 1
Shoooow galerinha, vamos continuando?!
O problema já nos disse que o escoamento é permanente e incompressível !!
Mas nós precisamos fazer algumas considerações, vamos assumir que o escoamento é completamente desenvolvido e que podemos negligenciar os efeitos da gravidade, .
Beleza !! Agora nós podemos começar lembrando da equação da continuidade:
As componentes da velocidade são dadas pelo problema, não é verdade?
E agora? O que faremos?
Derivamos, certo?
Substituindo:
Isso nos diz que a equação da continuidade foi satisfeita!!
Passo 2
Se a equação da continuidade é satisfeita nós podemos usar a equação de Navier – Stokes.
Para a direção x e y:
Então precisamos de algumas derivadas, certo? Para a direção x:
Na direção y:
E agora a gente substitui tudooo!!
Primeiro em x:
Então, a equação do momento para x é satisfeita desde que possamos o campo de pressão satisfaça esta relação, ok?
Agora vamos para a direção y:
Da mesma forma que a anterior, a equação do momento para y é satisfeita desde que possamos o campo de pressão satisfaça esta relação !!
Passo 3
Nós percebemos que para duas dimensões, a pressão deve ser dada em função de x e de y, não é?
Então, para que nós possamos calcular a pressão seja uma função regular de x e y um requisito é essencial !!
Matematicamente, a derivada cruzada da pressão deve ser igual, ok?
Ou seja:
Calculemos então cada um separadamente:
Então:
Como as derivadas cruzadas não são iguais, a pressão não é uma função regular!!
Se não é uma função regular nós não somos capazes de calcular um campo de pressão bidimensional permanente e incompressível dado este campo de velocidade especificado.
Então chegamos ao fim !