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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 99

Considere o escoamento representado pela função de corrente ψ = A x 2 y , em que A é uma constante dimensional igual a 2,5   m - 1 . s - 1 . A massa específica é 1200 kg/m³. O escoamento é irrotacional? Pode a diferença de pressão entre os pontos x , y = 1,4 e ( 2,1 ) ser calculada? Se afirmativo, calcule, caso contrário, explique por quê.

Passo 1

Tá legal! Como o enunciado nos deu a função corrente, então sabemos que o escoamento é incompressível, dessa forma temos:

u = ∂ ∂ y ψ ; v = - ∂ ∂ x ψ

Substituindo a expressão da função ψ , temos:

u x , y = ∂ ∂ y A x 2 y → u x , y = A x 2

v x , y = - ∂ ∂ x A x 2 y → v x , y = - 2 A x y

Agora, para o escoamento ser irrotacional, temos que atender a seguinte condição:

∂ ∂ x v - ∂ ∂ y u = 0

Então, substituindo as expressões encontradas para v e u , temos:

∂ ∂ x - 2 A x y - ∂ ∂ y A x 2 = 0 → - 2 a y - 0 = 0

Dessa forma, o escoamento não é irrotacional. Então só podemos calcular a diferença de pressão entre os dois pontos dados se eles estiverem sob a mesma linha de corrente.

Passo 2

Para verificar se os pontos estão sob a mesma linha de corrente, basta substituir as coordenadas dadas na função corrente, e devemos obter o mesmo valor, então:

ψ 1,4 = A 1 2 4 → ψ 1,4 = 4 A

ψ 2,1 = A 2 2 1 → ψ 2,1 = 4 A

Então os pontos estão sob a mesma linha de corrente e podemos aplicar Bernoulli para encontrar a diferença de pressão. Para isso vamos precisar calcular os módulos das velocidades nos dois pontos, que será dado por:

V x , y = u x , y 2 + v x , y 2

Então, para o ponto ( 1,4 ) , temos:

V 1,4 = 2,5 1 2 2 + - 2 2,5 1 4 2 → V 1,4 = 20,2   m / s

E, para o ponto ( 2,1 ) :

V 2,1 = 2,5 2 2 2 + - 2 2,5 2 1 2 → V 2,1 = 14,1   m / s

Passo 3

Então, aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos ( 1,4 ) que chamaremos de 1 e o ponto ( 2,1 ) que chamaremos de 2, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse caso, podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 , e substituindo os valores encontrados para as velocidades, chegamos em:

p 1 ρ - p 2 ρ = v 2 2 2 - v 1 2 2 → Δ p = 1200 14,1 2 2 - 20,2 2 2 → Δ p = - 125538   P a

Resposta

e s c o a m e n t o   n ã o   i r r o t a c i o n a l

Δ p = - 125538   P a

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