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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 30

No Capítulo 9 definiremos a função de corrente ψ para o escoamento incompressível bidimensional no plano x y

onde u e v são os componentes da velocidade nas direções x e y, respectivamente. (a) Quais são as dimensões primárias de ψ ? (b) Suponha que determinado escoamento bidimensional tenha uma escala de comprimento característica L e uma escala de tempo característica t . Defina as formas adimensionais das variáveis x ,   y ,   u ,   v   e   ψ   . (c) Reescreva as equações na forma adimensional e identifique todos os parâmetros adimensionais usuais que possam aparecer.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, inicialmente, assumimos:

1. O fluxo é incompressível;

2. O fluxo é bidimensional no plano x-y.

Passo 2

Letra a) Usamos o fato de que todas as equações devem ser dimensionalmente homogêneas. Resolvemos as dimensões de ψ :

Sabemos que u é dado em v e l o c i d a d e = c o m p r i m e n t o / t e m p o e x   e   y tem como dimensões primárias o c o m p r i m e n t o . Então:

ψ = u   x   y = L t ⋅ L                     → ψ = c o m p r i m e n t o 2 t e m p o

Passo 3

Letra b) Adimensionamos as variáveis ​​por inspeção de acordo com suas dimensões. Então podemos organizar:

x * = x L         y * = y L         u * = u t L           v * = v t L     ψ * = ψ t L 2  

Passo 4

Relembrando a equação:

u = ∂ ψ ∂ y                     v = - ∂ ψ ∂ x           ( 1 )

Letra c) Assim, podemos gerar as equações adimensionalizadas, substituindo os termos da eq. 1:

u * L t = ∂ ψ * L 2 t ∂ y * ( L )                     v * L t = - ∂ ψ * L 2 t ∂ x * ( L )  

Podemos perceber que cada termo em ambas as partes da equação acima contém a razão L / t . Dividimos cada termo por L / t para obter forma não dimensionalizada final das equações, assim:

u * = ∂ ψ * ∂ y *                     v * = - ∂ ψ * ∂ x *  

Nenhum grupo sem dimensão surgiu nesta adimensionalização.

Resposta

Portanto:

Letra a) ψ = c o m p r i m e n t o 2 t e m p o

Letra b) x * = x L         y * = y L         u * = u t L           v * = v t L     ψ * = ψ t L 2  

Letra c) u * = ∂ ψ * ∂ y *                     v * = - ∂ ψ * ∂ x *  

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