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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 23

CConsidere o campo de escoamento dado na descrição euleriana pela expressão V → = a x î + b y t j ^ , em que a = 0,2   s - 1 ,     b = 0,04   s - 2 e. e as coordenadas são medidas em metros. Deduza as funções de posição lagrangiana para a partícula fluida que passou pelo ponto ( x ,   y ) =   ( 1 ,   1 ) no instante t = 0 . Obtenha uma expressão algébrica para a trajetória seguida por essa partícula. Trace a trajetória e comparea com as linhas de corrente que passam por esse mesmo ponto nos instantes t = 0 , 10 e 20   s .

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Este problema nos pede a trajetória da partícula que passou pelo ponto ( 1 ,   1 ) no instante t = 0 . Temos que as trajetórias são dadas por:

u = d x d t = a x v = d y d t = b y t

Onde:

a = 0,02   s - 1 b = 0,04   s - 2

Separando as variáveis:

d x x = a   d t d y y = b t   d t

Realizando os cálculos necessários, temos:

x t = e 1 / 5

Para y :

y t = e t 2 / 50

Passo 2

Para a equação das linhas de corrente:

v u = d y d x = - b y t a x d y y = b t a x d x

Integrando: ln ⁡ y y 0 = b a t ln ⁡ x x 0 y = y 0 x x 0 b a t

Onde:

b a = 0,2 x 0 = 1 y 0 = 1

Passo 3

Por fim, vamos obter a expressão para t = 0 , temos:

y = y 0 x x 0 b a t   = 1

Já para t = 5 :

y = y 0 x x 0 b a 1 + c t = x b a t = 1

E para t = 10 :

y = y 0 x x 0 b a 1 + c t   = x 2 b a t = 2

Portanto, nossos gráficos ficam assim:

Resposta

y = y 0 x x 0 b a t

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