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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 143

Considere a bola de tênis do Problema 9.134. Suponha que ela seja golpeada de modo a ter uma velocidade inicial para cima de 50   m / s . Estime a elevação máxima da bola, considerando (a) um coeficiente de arrasto constante e (b) as equações para o coeficiente de arrasto dadas no Problema 9.132, e um esquema de integração numérica (por exemplo, a regra de Simpson).

Passo 1

Fala aí galera, bora pra mais um problema de Mecânica dos Fluidos. Sabemos que, por definição:

F A = 1 2 ρ A V 2 C A

Pela segunda lei de Newton, antes da velocidade terminal:

M a = M d V d t = - 1 2 ρ V 2 A C A - M g

M a = M V d V d x = - 1 2 ρ V 2 A C A - M g

Logo, a altura máxima é dada por:

x m á x = ∫ V i 0 V ρ A C A 2 M V 2 - g d V = ∫ 0 V i V ρ A C A 2 M V 2 + g d V

Para facilitar, vamos resolver a integral numericamente. Vamos aplicar a fórmula de Simpson para resolvê-las:

∫ f V d V = ∆ V 3 f V 0 + 4 f V 1 + 2 f V 2 + 4 f V 3 + f V N

Onde ∆ V   é o intervalo entre as velocidades nos pontos 0 ( V 0 ) , 1 ( V 1 ) etc, logo:

V 0 = 0

V N = V i

∆ V = - V i N

Logo, resolvendo:

x m á x = 48,7 m

Passo 2

Já para um coeficiente constante, vamos assumir:

C A = 0,5

A integral ficará:

x m á x = ∫ 0 V i V ρ A C A 2 M V 2 + g d V

Logo:

x m á x = M ρ A C A   ln ⁡ ρ A C A 2 M g V i 2 + 1

Substituindo:

x m á x = 48,7 m

Os dois resultados são muito próximos. Isso ocorre porque o integrando não varia muito após as primeiras etapas, portanto a integral numérica é precisa e a solução analítica assume C A = 0,5 .

Note que fizemos primeiro a letra b e depois a letra a.

Resposta

  1. x m á x = 48,7 m
  2. x m á x = 48,7 m
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