O componente básico de um aparelho de teste de manômetros consiste de um dispositivo pistão-cilindro, conforme mostrado. O pistão, de 6 mm de diâmetro, é carregado de modo a desenvolver uma pressão de módulo conhecido. (O comprimento do pistão é 25 mm.) Calcule a massa, M, requerida para produzir 1,5 MPa (manométrica) no cilindro. Determine a taxa de vazamento como uma função da folga radial, a , para essa carga, se o líquido for óleo SAE 30 a 20°C. Especifique a máxima folga radial admissível de modo que o movimento vertical do pistão devido ao vazamento seja inferior a 1 mm/min.

Passo 1

Beleza, a primeira coisa então é calcular a massa M, requerida para produzir a pressão dada. Sabemos que a pressão será dada por:

p = F A = F π D 2 4 → p = 4 F π D 2

Essa pressão já é manométrica. Agora, nós sabemos também que a força no pistão será dada pelo peso da massa M , então, temos:

F = M g

Então, substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

p = 4 M g π D 2 → M = p π D 2 4 g

Substituindo os valores conhecidos, temos:

M = 1,5.10 6 π 6.10 - 3 2 4 9,81 → M = 4,32   k g

Passo 2

Podemos modelar esse exercício como sendo um escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas, e dessa forma, utilizar a equação 8.6c vista nesse capítulo, então, temos:

Q l = a 3 Δ p 12 μ L

De forma que o perímetro l será:

l = π D

Em que D é o diâmetro do pistão, então, substituindo essa expressão na equação anterior e isolando a vazão, temos:

Q π D = a 3 Δ p 12 μ L → Q = π D a 3 Δ p 12 μ L

Passo 3

Agora precisamos pegar as propriedades do óleo à temperatura dada no enunciado no apêndice A, então, teremos:

μ = 0,4   N . s / m 2

Então, agora, substituindo os valores conhecidos na equação da vazão obtida no passo 2, temos:

Q = π D a 3 Δ p 12 μ L = π 6.10 - 3 a 3 1,5.10 6 12 0,4 25.10 - 3 → Q = 235619,4 a 3

Passo 4

Agora, para que o movimento do pistão devido ao vazamento seja iferior a 1mm/min. Devemos usar a equação da vazão para descobrir o valor utilizando essa velocidade, então, teremos:

Q = V A = V π D 2 4

Antes de aplicar a equação, vamos converter a velocidade para m / s , então, temos:

V = 1   m m m i n 1   m i n 60   s 1   m 1000   m m → V = 1,667.10 - 5   m / s

Então, susbtituindo os valores conhecidos na equação da vazão, temos:

Q = 1,667.10 - 5 π 6.10 - 3 2 4 → Q = 4,71.10 - 10   m 3 / s

Então, voltando à equação do passo 3 para a vazão, e substituindo o valor encontrado, temos:

Q = 235619,4 a 3 → 4,71.10 - 10 = 235619,4 a 3 → a = 1,26.10 - 5   m

Resposta

M = 4,32   k g

Q = 235619,4 a 3

a = 1,26.10 - 5   m

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