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Enunciado

Sistemas de Controle - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 77

Uma comporta Tainter, usada para controlar a vazão de água na represa de Uniontown no Rio Ohio, é mostrada na figura; a sua largura é w = 35 m. Determine o módulo, o sentido e a direção da linha de ação da força da água sobre a comporta.

Passo 1

Nessa questão temos um portão Tainter e devemos encontrar a força da água atuando no portão.

Agora vamos ver com quais expressões podemos calcular isso:

d p d h = ρ g , pressão hidrostática onde h é positivo para baixo.

d F = p d A , força hidrostática

Como todo problema da MecFLu, fazemos algumas considerações: fluido estático e incompressível; pressão atmosférica atuando na superfície livre da água e fora do portão.

Passo 2

Começamos integrando a equação da pressão hidrostática, onde p = ρ g R sin ⁡ θ . Agora, resolvemos em componentes horizontais e verticais.

d F H = d F cos ⁡ θ = p d A cos ⁡ θ

= ρ g R sin ⁡ θ w R d θ cos ⁡ θ

Integrando para a força horizontal, temos:

F H = ∫ 0 θ 1 ρ g   R 2 w   sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Onde θ 1 = asin ⁡ 10 20 = 30 ° , logo:

F H = ρ g   R 2 w ∫ 0 30 ° sin ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

F H = ρ g   R 2 w × sin ⁡ 30 ° 2 2 = ρ g R 2 w 8

Substituindo valores:

F H = 1 8 × 999 k g m 3 × 9,81 m s 2 × ( 20   m ) 2 × 35 m = 1 , 715 × 10 7 N

Passo 3

Fazemos o mesmo procedimento para achar a força vertical, em que d F v = d F sin ⁡ θ = p d A sin ⁡ θ = ρ g   R 2 w sin ⁡ θ 2 d θ .

F V = ρ g   R 2 w ∫ 0 30 ° sin ⁡ θ 2 d θ

F V = ρ g   R 2 w × π 1 2 - 3 8

Substituindo valores:

F V = π 12 - 3 8 × 999 k g m 3 × 9,81 m s 2 × ( 20   m ) 2 × 35 m = 6,21 × 10 6 N

Agora é só calcular a força resultante:

F R = 6,21 × 10 6 N 2 + 1,715 × 10 7 N 2

F R = 1 , 824 × 10 7 N

Prontinho!!

Resposta

F R = 1,824 × 10 7 N

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