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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 176

Um modelo de foguete, a propelente sólido, tem uma massa de 69,6   g , da qual 12 ,   5   g são de combustível. O foguete produz 5,75   N de empuxo por um período de 1,7   s . Para essas condições, calcule a velocidade máxima e altura atingida, na ausência de resistência do ar. Trace um gráfico da velocidade do foguete e da distância percorrida como funções do tempo.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A

Como estamos analisando um sistema y , temos:

F S y + F B y - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não há resistência:

- m g - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- m g - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Então:

- m g - a r y m = - v e ⋅ m ˙

a = v e ⋅ m ˙ m - g  

Sendo:

a r y = d v d t ;

m = m o - m ˙ t .

Temos:

d v d t = v e ⋅ m ˙ m o - m ˙ t - g  

Isolando os termos:

∫ 0 v d v = ∫ 0 t v e ⋅ m ˙ m o - m ˙ t - g   d t

Integrando:

v = - v e ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0 - g t

Passo 3

Calculando m ˙ .

m f = m ˙ t

m ˙ = m f t

Sendo:

m f = 12,5   g = 0,0125   k g ;

t = 1,7   s .

Temos:

m ˙ = 0,0125 1,7 = 0,00 735   k g / s

Calculando v e :

F e = v e m ˙

v e = F e m ˙

Sendo:

F e = 5,75   N .

Temos:

v e = 5,75 0,00735 = 782   m / s

Passo 4

Calculando a velocidade máxima.

v m á x = - v e ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0 - g t

Sendo:

m 0 = 69,6   g = 0,0696   k g ;

g = 9,8   m / s 2 .

Temos:

v m á x = - 782 ⋅ ln ⁡ 1 - 0,00735 ⋅ 1,7 0,0696 - 9,8 ⋅ 1,7 = 138,8   m / s

Passo 5

Calculando a altura atingida.

Temos que:

v = d y d t

Então:

d y d t = - v e ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0 - g t

Integrando:

y = v e m 0 m ˙ 1 + 1 - m ˙ t m 0 ⋅ ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0 - 1 - g t 2 2  

Substituindo os dados:

y = 782 ⋅ 0,0696 0,00735 1 + 1 - 0,00735 ⋅ 1,7 0,0696 ⋅ ln ⁡ 1 - 0,00735 ⋅ 1,7 0,0696 - 1 - 9,8 ⋅ 1,7 2 2

y = 113,7   m

Passo 6

v t = v m á x - g ( t x - t )

y t = y + v m á x t x - t - g t x - t 2 2

Resposta

v m á x = 138,8   m / s

y = 113,7   m

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