Combine os resultados dos Problemas 7-58 e 7-59 para gerar uma equação para a velocidade terminal V de um partícula de aerossol que cai no ar (Figura). Certifique-se de que o seu resultado é consistente com a relação funcional obtido no Problema 7-59. Por consistência, use a notação do Problema 7-59. (Sugestão: para uma partícula que cai com velocidade terminal constante, o peso total da partícula deve ser igual ao seu arrasto aerodinâmico. Seu resultado final deve ser uma equação para V que seja válida a menos de um fator constante desconhecido.)

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado quer da gente!

Na questão 58   a gente tem uma partícula de aerosol se movimentando através do ar ou da água, na direção do eixo x .

Já na questão 59 temos essa mesma partícula, mas dessa vez ela esta caindo, na direção do eixo y .

A gente tem que juntar essas duas situações e escrever uma nova equação para velocidade!!

Vamos relembrar os nossos parâmetros relevantes:

Da questão 58 :

F d ,   V ,   L ,   μ

Da questão 59 :

V ,   D p , ρ p - ρ , μ ,   g

Na questão 58 L é usado como comprimento da particula, já na questão 59 usamos D p para o mesmo fim, para simplificar as nossas vidas, vamos usar apenas D p , beleza?

Passo 2

A dica do enunciado é que o peso total da particula, W , deve ser igual ao seu arrasto aerodinâmico, primeiro vamos ver como a gente pode escrever W :

W = m a s s a × a c e l e r a ç ã o  

Não temos a variável massa na lista dos nossos parâmetros relevantes, mas temos a densidade relativa, nesse caso poderiamos dizer que:

m a s s a = ρ p - ρ × v o l u m e

Não temos o volume, mas conhecemos o diâmetro da particula, como a gente não conhece o formato da nossa particula, podemos dizer que :

m a s s a = ρ p - ρ × C 1 D p   3  

Onde C 1 é uma constante, por exemplo, se a particula fosse perfeitamente esférica C 1 = 4 3 π , mas como não sabemos o formato da nossa particula vamos usar apenas C 1 .

A aceleração a gente conhece, é g então vamos substituir:

W = C 1 × ρ p - ρ D p 3 g

Olhando a resolução da questão 58 achamos uma relação com a força de arrasto F d que é:

F d = C 2 × μ V D p

Igualando W com F d :

C 1 × ρ p - ρ D p 3 g = C 2 × μ V D p

Isolando V :

V = C 1   C 2 ρ p - ρ D p 3 g μ V D p

Agora vamos chamar C 1   C 2 de C :

V = C × ρ p - ρ D p 2 g μ

Passo 3

O enunciado pede para a gente se certificar de que o nosos resultado é consistente com a relação funcional obtido no Problema 7-59, vamos ver o resultado da questão anterior:

V D p g = f ρ p - ρ D p D p   g μ

Se a gente passar D p g multiplicando para o lado direito a gente chega em uma expressão bem semelhante a que chegamos agora pouco, logo o resultado é consistente!

Resposta

V D p g = f ρ p - ρ D p D p   g μ

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