A comporta ABC é um arco de círculo, às vezes chamada de comporta Tainter, que pode ser elevada e abaixada pivotando em torno do ponto O. Veja a Figura P2.88. Para a posição mostrada, determine (a) a força hidrostática da água sobre a comporta e (b) sua linha de ação. A força passa pelo ponto O?

Primeiro, vamos calcular a componente horizontal . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:

Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base e altura . Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:

Sendo: o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 ; a distância do centro de massa com relação à superfície livre, que para um retângulo é metade da altura do retângulo; e a área do retângulo projetado.

Dessa forma, temos:

Além disso, devemos calcular a linha de ação da componente horizontal da força, que podemos chamar de . Pra isso, vamos utilizar a equação abaixo:

Sendo: o ângulo entre a projeção e a horizontal, que, por definição, é 90°; e o momento de inércia para essa direção.

O momento de inércia de um retângulo, o próprio livro define na página 92 como :

Sendo: a largura do retângulo , ou seja, ; e a altura do retângulo, que nesse caso é 20 m. Logo:

Calculando então a linha de ação, temos:

Agora vamos calcular a componente vertical .

Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir da do que se chama peso da água “ausente”, ou seja, o peso que a água exerceria se o segmento de círculo estivesse preenchido com o fluido. A força age justamente de maneira a compensar esse peso ausente.

Pra entender melhor, veja a figura aí embaixo:

Note que para este tipo de aplicação, a componente vertical da força hidrostática irá apontar para cima.

Para prosseguir com nossos cálculos, iremos precisar calcular a área do segmento de círculo . Para isso, considere a imagem abaixo:

Seja o raio do segmento de círculo e é o comprimento da corda. Para a comporta do problema, sabemos que e também. Desta maneira, podemos descobrir o ângulo :

A área , por definição, é calculada como:

Agora sim, podemos calcular :

Pra calcular a linha de ação para a componente vertical, temos que saber que o centroide de um segmento de círculo é dado por . Sendo assim:

E pra finalizar a questão, iremos calcular a resultante da força hidrostática e sua linha de ação.

Primeiro, com as duas componentes e encontradas nos Passos 2 e 3, podemos calcular uma resultante a partir do módulo dessas componentes:

Fazendo uma simples relação trigonométrica com o triângulo, podemos encontrar a resultante do ângulo entre (eixo horizontal) e :

Com esse resultado, vamos olhar a imagem abaixo, já em escala com relação às distâncias e ângulo aqui calculados:

Como vocês podem perceber, a linha de ação da força faz um ângulo de com a horizontal, e passa pelos pontos abaixo e à direita do ponto , ou seja, onde passam as linhas de ação de suas componentes.

Como é possível perceber pela figura, sim, a linha de ação de passa pelo ponto .

Pronto, matamos a questão juntos!