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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 2.Exercício - Ex. 29

A comporta da figura, em forma de 1 4 de cilindro, tem peso desprezível. Determinar a relação γ 1 / γ 2 entre os pesos específicos dos líquidos, para que a comporta não gire em torno do ponto O . Dado: x C G = 4 3 R π

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Pela teoria sabemos que a força em uma superfície curva pode ser decomposta em horizontal e vertical como mostrado no diagrama abaixo:

A componente horizontal é igual a força que age na projeção horizontal da superfície curva.

A componente vertical é igual ao peso do fluido imaginário referente ao quarto de círculo da comporta:

A força F 2 H se comporta como F 1 H .

Passo 2

Como a comporta está em equilíbrio, o somatório de momentos no ponto de articulação O deve ser nulo. Logo:

F 1 H R 3 + F 1 V x C G = F 2 H R 3

O centro de gravidade x C G de um quarto de círculo é:

x C G = 4 R 3 π

Portanto:

F 1 H R 3 + F 1 V 4 R 3 π = F 2 H R 3

Sabemos que:

F 1 H = P C G 1 A 1

F 2 H = P C G 2 A 2

E:

F 1 V = G 1

Portanto:

P C G 1 A 1 R 3 + G 1 4 R 3 π = P C G 2 A 2 R 3

Passo 3

Agora é só desenvolver:

P C G 1 A 1 R 3 + G 1 4 R 3 π = P C G 2 A 2 R 3

γ 1 h C G 1 A 1 + G 1 4 π = γ 2 h C G 2 A 2

γ 1 R 2 R w + γ 1 π R 2 4 w 4 π = γ 2 R 2 R w

Simplificando, temos que:

γ 1 2 + γ 1 = γ 2 2

γ 1 γ 2 = 1 3

Resposta

γ 1 γ 2 = 1 3

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