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Enunciado

Termodinâmica - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 51

Ar, nas condições de estagnação de 500 K e 200 kPa, escoa por um bocal. Na seção 1, em que a área é 12 cm2, a massa específica é 0,32 kg/m3. Admitindo escoamento isentrópico, (a) determine a vazão em massa. (b) O escoamento está bloqueado? Nesse caso, calcule A*. Calcule também (c) p1 e (d) Ma1

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos ar nas condições de estagnação de T 0 = 500   K e e p 0 = 200   k P a escoando por um bocal que na suação de entrada tem área A 1 = 12   c m 2 e massa específica ρ 1 = 0,32 k g m ³ .

A questão quer então que a gente calcule a vazão mássica m ˙ , a área crítica da garganta A * , a pressão na seção de entrada p 1 e valor do número de Mach na entrada M a 1

Antes de ir pros próximos passos, devemos lembrar que para o ar o coeficiente isentrópico é k = 1,4 . e a constante do gás pro ar é R = 287   J / k g ∙ K .

Agora sim, vem comigo pra gente matar esse problema juntos!

Passo 2

Pra começarmos a resolver a questão, devemos resolver a letra (d).

Em primeiro lugar vamo encontrar o valor a densidade de estagnação:

ρ 0 = p 0 R T 0   = 200000   P a 287   J / k g ∙ K 500   K = 1,39   k g / m ³

Podemos relacionar as duas densidades e então encontrar o número de Mach na entrada M a 1 :

ρ 0 ρ 1 = 1 + 0,2 M a 1 2 2,5

1,39   k g / m ³ 0,32   k g / m ³ = 1 + 0,2 M a 1 2 2,5

M a 1 = 2,00

Passo 3

Agora sim podemos resolver a letra (a).

Vamos usar M a 1 que acabamos de descobrir pra calcular a temperatura na entrada do bocal:

T 1 = T 0 1 + 0,2 M a 2 2 = 500   K 1 + 0,2 2,00 ² = 278   K

Com T 1 e também com M a 1 podemos achar a velocidade na entrada do bocal:

V 1 = M a 1 k R T 1 = 2,00 1,4 287   J / k g ∙ K 278   K

V 1 = 668   m / s

E com V 1 finalmente podemos calcular a vazão mássica:

m ˙ = ρ 1 A 1 V 1 = 0,32 k g m 3 1,2 × 10 - 3   m 2 668   m / s

m ˙ = 0,257   k g / s

Passo 4

Como valor da vazão que calculamos no passo anterior podemos resolver a letra (b).

Pelo valor de M a 1 sabemos que o escoamento é supersônico e devemos calcular a a área crítica da garganta A * , a partir da equação:

m ˙ = m ˙ m a x = 0,6847 p 0 A * R T 0 1 / 2

0,257   k g / s = 0,6847 200000   P a A * 287   J / k g ∙ K 500   K 1 / 2

A * = 7,1 × 10 - 4   m ²

Passo 5

Pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (c). Vamos calcular a pressão na entrada do bocal, a partir da relação:

p 1 = p 0 1 + 0,2 M a 1 2 3 , 5

p 1 = 200000 1 + 0,2 2,00 2 3,5

p 1 = 25500   P a

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) m ˙ = 0,257   k g / s

(b) A * = 7,1 × 10 - 4   m ²

(c)   p 1 = 25500   P a

(d) M a 1 = 2,00

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