A condutividade térmica efetiva k e f para cilindros concêntricos e esferas concêntricas é fornecida pelas Equações 9.59 e 9.62 , respectivamente. Deduza expressões para os números de Rayleigh críticos associados às geometrias cilíndrica e esférica, R a c ,c r í t í e R a e ,c r í t í , respectivamente, abaixo dos quais k e f é minimizada. Calcule R a c ,c r í t í e R a e ,c r í t í para o ar, para a água e para a glicerina, a uma temperatura média de 300K . Para temperaturas superficiais interna e externa especificadas, assim como raios do cilindro interno ou da esfera interna, comente sobre a taxa de transferência de calor para os cilindro externo ou esfera externa com raios correspondentes aos R a c ,c r í t í e R a e ,c r í t í , respectivamente.

Rayleigh crítico para cilindro: R a c ,c r í t = 1 0,386 × 0,861 + P r P r 1 4 4 í Rayleigh crítico para esfera: R a e ,c r í t = 1 0,74 × 0,861 + P r P r 1 4 4 í Valores de R a c r í t í para o ar a 300K : R a c ,c r í t = 99,9 í ; R a e ,c r í t = 7,4 í .Valores de R a c r í t í para a água a 300K : R a c ,c r í t = 51,7 í ; R a e ,c r í t = 3,8 í .Valores de R a c r í t í para a glicerina a 300K : R a c ,c r í t = 45 í ; R a e ,c r í t = 3,3 í .

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 100

A condutividade térmica efetiva para cilindros concêntricos e esferas concêntricas é fornecida pelas Equações e , respectivamente. Deduza expressões para os números de Rayleigh críticos associados às geometrias cilíndrica e esférica, e , respectivamente, abaixo dos quais é minimizada. Calcule e para o ar, para a água e para a glicerina, a uma temperatura média de . Para temperaturas superficiais interna e externa especificadas, assim como raios do cilindro interno ou da esfera interna, comente sobre a taxa de transferência de calor para os cilindro externo ou esfera externa com raios correspondentes aos e , respectivamente.

Passo 1

O exercício começa pedindo para deduzir a expressão para o número de Rayleigh crítico. Então, vamos iniciar relembrando o conceito de Rayleigh crítico. O número crítico está relacionado com o momento em que a convecção natural passa a ser relevante para a transferência de calor, em comparação com a transferência por condução.

Quando isto ocorre, é o equivalente ao momento em que passa a ser superior a . Ou seja, o número crítico de Rayleigh está relacionado ao ponto em que:

O que vamos fazer é considerar esta razão nas equações e e então, obter o número de Rayleigh equivalente. Vamos lá?

Passo 2

Começando com a equação para o cilindro:

Vamos agora para a equação de esfera:

Vamos agora aplicar esta relação para os três fluidos a .

Passo 3

Começando pelo ar a , temos que . Então, para a relação de cilindro:

Para a equação de esfera teremos:

Passo 4

Vamos agora calcular quais são os valores do número de Rayleigh crítico para água a . Nesta temperatura, (Tabela A-6, apêndice A), então:

Para a geometria esférica teremos:

Passo 5

Vamos agora verificar o número de Rayleigh crítico para glicerina a . Para esta temperatura, (Tabela A-5, apêndice A), então:

Para a geometria esférica teremos:

Passo 6

Para finalizar vamos discutir o que ocorre com a taxa de transferência de calor, com as temperaturas e raios especificados. Para valores de número de Rayleigh iguais ao valor crítico temos a situação em que a taxa de transferência é minimizada.

Como comentamos anteriormente, para o caso em que é menor que , teremos uma situação em que a transferência de calor por condução é mais relevante. Além disso, para isso acontecer , o que indica uma menor diferença entre os raios interno e externo e, por consequência uma área de transferência menor, justificando a menor influência da transferência por convecção.

Para o caso em que é maior que temos a situação inversa. A convecção é mais relevante e, teremos um número de Rayleigh . Isto ocorre porque teremos uma diferença de espessura maior e, portanto uma área de transferência térmica maior, o que permite o predomínio da convecção natural no processo.

Resposta

Rayleigh crítico para cilindro:

Rayleigh crítico para esfera:

Valores de para o ar a : ; .

Valores de para a água a : ; .

Valores de para a glicerina a : ; .

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