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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 100

A condutividade térmica efetiva k e f para cilindros concêntricos e esferas concêntricas é fornecida pelas Equações 9.59 e 9.62 , respectivamente. Deduza expressões para os números de Rayleigh críticos associados às geometrias cilíndrica e esférica, R a c ,   c r í t e R a e ,   c r í t , respectivamente, abaixo dos quais k e f é minimizada. Calcule R a c ,   c r í t e R a e ,   c r í t para o ar, para a água e para a glicerina, a uma temperatura média de 300   K . Para temperaturas superficiais interna e externa especificadas, assim como raios do cilindro interno ou da esfera interna, comente sobre a taxa de transferência de calor para os cilindro externo ou esfera externa com raios correspondentes aos R a c ,   c r í t e R a e ,   c r í t , respectivamente.

Passo 1

O exercício começa pedindo para deduzir a expressão para o número de Rayleigh crítico. Então, vamos iniciar relembrando o conceito de Rayleigh crítico. O número crítico está relacionado com o momento em que a convecção natural passa a ser relevante para a transferência de calor, em comparação com a transferência por condução.

Quando isto ocorre, é o equivalente ao momento em que k e f passa a ser superior a k . Ou seja, o número crítico de Rayleigh está relacionado ao ponto em que:

k e f k = 1

O que vamos fazer é considerar esta razão nas equações 9.59 e 9.62 e então, obter o número de Rayleigh equivalente. Vamos lá?

Passo 2

Começando com a equação para o cilindro:

k e f k = 0,386 × P r 0,861 + P r 1 4 × R a c 1 4

1 = 0,386 × P r 0,861 + P r 1 4 × R a c ,   c r í t 1 4

1 0,386 × 0,861 + P r P r 1 4 = R a c ,   c r í t 1 4

R a c ,   c r í t = 1 0,386 × 0,861 + P r P r 1 4 4

Vamos agora para a equação de esfera:

k e f k = 0,74 × P r 0,861 + P r 1 4 × R a e 1 4

1 = 0,74 × P r 0,861 + P r 1 4 × R a e ,   c r í t 1 4

1 0,74 × 0,861 + P r P r 1 4 = R a e ,   c r í t 1 4

R a e ,   c r í t = 1 0,74 × 0,861 + P r P r 1 4 4

Vamos agora aplicar esta relação para os três fluidos a 300   K .

Passo 3

Começando pelo ar a 300   K , temos que P r = 0,707 . Então, para a relação de cilindro:

R a c ,   c r í t = 1 0,386 × 0,861 + P r P r 1 4 4

R a c ,   c r í t = 1 0,386 × 0,861 + 0,707 0,707 1 4 4

R a c ,   c r í t = 99,9

Para a equação de esfera teremos:

R a e ,   c r í t = 1 0,74 × 0,861 + P r P r 1 4 4

R a e ,   c r í t = 1 0,74 × 0,861 + 0,707 0,707 1 4 4

R a e ,   c r í t = 7,4

Passo 4

Vamos agora calcular quais são os valores do número de Rayleigh crítico para água a 300   K . Nesta temperatura, P r = 5,83 (Tabela A-6, apêndice A), então:

R a c ,   c r í t = 1 0,386 × 0,861 + P r P r 1 4 4

R a c ,   c r í t = 1 0,386 × 0,861 + 5,83 5,83 1 4 4

R a c ,   c r í t = 51,7

Para a geometria esférica teremos:

R a e ,   c r í t = 1 0,74 × 0,861 + P r P r 1 4 4

R a e ,   c r í t = 1 0,74 × 0,861 + 5,83 5,83 1 4 4

R a e ,   c r í t = 3,8

Passo 5

Vamos agora verificar o número de Rayleigh crítico para glicerina a 300   K . Para esta temperatura, P r = 6780 (Tabela A-5, apêndice A), então:

R a c ,   c r í t = 1 0,386 × 0,861 + P r P r 1 4 4

R a c ,   c r í t = 1 0,386 × 0,861 + 6780 6780 1 4 4

R a c ,   c r í t = 45

Para a geometria esférica teremos:

R a e ,   c r í t = 1 0,74 × 0,861 + P r P r 1 4 4

R a e ,   c r í t = 1 0,74 × 0,861 + 6780 6780 1 4 4

R a e ,   c r í t = 3,3

Passo 6

Para finalizar vamos discutir o que ocorre com a taxa de transferência de calor, com as temperaturas e raios especificados. Para valores de número de Rayleigh iguais ao valor crítico temos a situação em que a taxa de transferência é minimizada.

Como comentamos anteriormente, para o caso em que k e f é menor que k , teremos uma situação em que a transferência de calor por condução é mais relevante. Além disso, para isso acontecer R a < R a c r í t , o que indica uma menor diferença entre os raios interno e externo e, por consequência uma área de transferência menor, justificando a menor influência da transferência por convecção.

Para o caso em que k e f é maior que k temos a situação inversa. A convecção é mais relevante e, teremos um número de Rayleigh R a > R a c r í t . Isto ocorre porque teremos uma diferença de espessura maior e, portanto uma área de transferência térmica maior, o que permite o predomínio da convecção natural no processo.

Resposta

Rayleigh crítico para cilindro:

R a c ,   c r í t = 1 0,386 × 0,861 + P r P r 1 4 4

Rayleigh crítico para esfera:

R a e ,   c r í t = 1 0,74 × 0,861 + P r P r 1 4 4

Valores de R a c r í t para o ar a 300   K : R a c ,   c r í t = 99,9 ; R a e ,   c r í t = 7,4 .

Valores de R a c r í t para a água a 300   K : R a c ,   c r í t = 51,7 ; R a e ,   c r í t = 3,8 .

Valores de R a c r í t para a glicerina a 300   K : R a c ,   c r í t = 45 ; R a e ,   c r í t = 3,3 .

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