0 Considere o campo de escoamento V =   a x t i   +   b j , em que a   = 1 4 s - 2 e b   =   1 / 3   m / s . As coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto ( x ,   y )   =   ( 1 ,   2 ) no instante t   =   0 , trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t   =   0 a 3   s . Comparea com a linha de emissão que passa pelo mesmo ponto no instante t   =   3   s e g u n d o s .

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Primeiro, temos que encontrar as as equações para trajetória na forma:

x p t = x t , x 0 , y 0 , t 0

y p ( t ) = y ( t , x 0 , y 0 , t 0 )

Onde x 0 , y 0 é a posição da partícula no instante t = t 0 . Com isso, temos:

x e t 0 = x t , x 0 , y 0 , t 0

y e ( t 0 ) = y ( t , x 0 , y 0 , t 0 )

Passo 2

Agora, para determinarmos a trajetória, vamos encontrar x ( t ) :

d x d t = u = a x t v = d y d t = b

Separando as variáveis e integrando:

ln ⁡ x x 0 = a 2 t 2 - t 0 2   x = x 0 e a 2 t 2 - t 0 2  

d y = b   d t

y = y 0 + b ( t - t 0 )

Logo, as trajetórias são dadas por:

x t t = x 0 e a 2 t 2 - t 0 2   y t ( t ) = y 0 + b ( t - t 0 )

Passo 3

Agora, para a linha de emissão, temos:

x l e t = x 0 e a 2 t 2 - t 0 2  

y l e ( t ) = y 0 + b ( t - t 0 )

Passo 4

Por fim, nosso gráfico fica assim:

Resposta

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