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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 10

A velocidade para um escoamento permanente incompressível no plano x y é dada por v → = i ^   A / x   + j ^   A / x 2 , em que A   =   2   m 2 / s e as coordenadas são medidas em metros. Obtenha uma equação para a linha de corrente que passa pelo ponto ( x ,   y )   =   ( 1 ,   3 ) . Calcule o tempo necessário para que uma partícula fluida se mova de x   =   1   m até x   =   2   m neste campo de escoamento.

Passo 1

Para solucionarmos o problema temos em vista que as linhas de corrente são aquelas que são desenhadas ao longo do escoamento, de modo que em um determinado tempo são tangentes à direção do escoamento. Logo, temos que relacionar

v u = d y d x = A y x 2 A x = y x

Agora, separamos as variáveis e integramos

d y y = d x x

∫ d y y = ∫ d x x

ln ⁡ y = ln ⁡ x + C

Então, a solução é: y = C   x que é a equação de uma linha reta.

Passo 2

Tendo a equação, substituímos o ponto (1,3),

y = C   x   ∴       3 = 1 × C         ∴           C = 3

Logo,

y = 3 x

Para uma partícula,

u p = d x d t = A x

Fazendo meios por extremos,

x   d x = A   d t

Integrando, temos

x = 2   A t + c     ∴       t = x 2 2 A - c 2 A

Portanto, o tempo para uma partícula passar de x   =   1 e x   =   2   m é

∆ t = t x = 2 - t ( x = 1 )

∆ t = 2 m 2 - c 2 A - 1 m 2 - c 2 A = 4 m 2 - 1 m 2 2 × 2 m 2 s       ∴           ∆ t = 0,75 s

Prontinho!!

Resposta

∆ t = 0,75 s

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