Considere o campo de escoamento dado na descrição euleriana pela expressão V = A î - B t j ^ , em que A   =   2   m / s , B = 2   m / s 2 e as coordenadas são medidas em metros. Deduza as funções de posição lagrangiana para a partícula fluida que passou pelo ponto   ( x ,   y )   =   ( 1 ,   1 ) no instante t   =   0 . Obtenha uma expressão algébrica para a trajetória seguida por essa partícula. Trace a trajetória e comparea com as linhas de corrente que passam por esse mesmo ponto nos instantes t = 0 , 1 e 2   s .

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Este problema nos pede a trajetória da partícula que passou pelo ponto ( 1 ,   1 ) no instante t = 0 . Temos:

u = d x d t v = d y d t

Para as trajetórias, temos:

u = A A = 2

v = d y d t = - B t   d t

Separando as variáveis:

d x = A   d t d y = B t   d t

Integrando:

x t = A t + x 0 x 0 = 1   m

y t = - B t 2 2 + y 0

Substituindo:

x t = 2 t + 1                             y = 1 - t 2

Com isso, teremos a trajetória ao combinarmos as equações. Logo, ela é dada por: y x = 1 - x - 1 2 4

Para a equação das linhas de corrente:

v u = d y d x = - B t A d y = - B t A d x

Integrando: y = - B t A x + c

Para a trajetória que passa pelo ponto 1,1 :

1 = B t A 1 + c c = 1 + B t A

Substituindo:

y = B t A x - 1 + 1 y = 1 - t ( x - 1 )

Portanto, nossos gráficos ficam assim:

Resposta

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