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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 41

Considere o escoamento em canal, compleiamente desenvolvido, bidimensional entre duas placas paralelas infinitas separadas pela distância h , com a placa superior e a inferior ambas fixas, e um gradiente de pressão d P / d x impulsionando o escoamento conforme ilustra a Figura P9-41. ( d P / d x é constante e negativa.) O escoamento é permanente, incompressível e bidimensional no plano x y . As componentes de velocidade são dadas por u = 1 2 μ d P d x y 2 - h y e v = 0 , onde μ é a viscosidade do fluido. Encontre uma expressão para a função corrente ψ ao longo da reta vertical tracejada na Figura P9-41. Por conveniência, faça ψ = 0 ao longo da parede inferior do canal. Qual é o valor de ψ ao longo da parede superior?

Passo 1

O enunciado quer saber duas informações: uma expressão para a função corrente ψ de uma reta vertical (com coordenada y variável e x constante) e o valor de ψ do fluido em contato com a placa superior (onde y = h ). A figura abaixo mostra os dados que temos e as informações que buscamos.

onde y é a coordenada vertical dos pontos do escoamento medida da placa inferior. u é a componente da velocidade do eixo x e v é a componente da velocidade no eixo y . ψ h é a função corrente do fluido em contato com a placa superior (onde y = h ). ψ y é a função corrente para a reta vertical . ψ 0 é a função corrente do fluido em contato com a placa de baixo (onde y = 0 ). d P d x é a taxa de variação da pressão ao longo do eixo x .

Passo 2

Para descobrir as fórmulas das componentes da velocidade no eixo x u e no eixo y   v , derivamos parcialmente a função corrente ψ . E como fazemos o inverso? Ou seja, como descobrimos uma fórmula para a função corrente ψ a partir das componentes da velocidade ( u e v )?

Para fazer esse caminho inverso, usamos o inverso da derivada: a integral! Em outras palavras, descobrimos uma fórmula para a função corrente ψ , integrando as componentes da velocidade ( u e v ).

A primeira etapa para fazer isso é usar a fórmula de cálculo de u e v em função de ψ (equações 9-20 do livro) e substituir as equações de u e v dadas pelo enunciado.

u = ∂ ψ ∂ y       ⟹       1 2 μ d P d x y 2 - h y = ∂ ψ ∂ y       ⟹       ∂ ψ ∂ y = 1 2 μ d P d x y 2 - h y

v = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       0 = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       ∂ ψ ∂ x = 0

Passo 3

Agora vamos integrar a equação de u em relação a y e encontrar a função corrente ψ . Dizendo isso de outra forma, vamos pensar qual função que, ao ser derivada parcialmente em relação a y , seria igual a u   u = 1 2 μ d P d x y 2 - h y .

∂ ψ ∂ y = 1 2 μ d P d x y 2 - h y       ⟹       ∫ ∂ ψ ∂ y d y = ∫ 1 2 μ d P d x y 2 - h y d y

Como d P d x e μ são constantes, podemos tirar o termo 1 2 μ d P d x de dentro da integral.

ψ = 1 2 μ d P d x ∫ y 2 - h y d y       ⟹       ψ = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2 + g x

Depois da integração em y , encontramos que ψ é a soma entre um termo em função de y e uma função de x g ( x ) . Ou seja, a função, cuja derivada parcial em y vale V ⋅ y h é a soma entre um termo em função de y V ⋅ y 2 2 h e outro em função de x g x . Mas por que tem uma função de x nessa integração, se só houve integração em relação à variável y ?

Isso ocorre, porque quando derivamos parcialmente a função ψ em relação a y , os termos que são funções de x g x são considerados constantes! Ou seja, g x nada mais é do que a constante de integração da integral em y !

Para achar g x , temos que derivar parcialmente em x a função ψ que encontramos.

Passo 4

Derivando parcialmente ψ , achamos que:

∂ ψ ∂ x = ∂ ∂ x 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2 + g x       ⟹       ∂ ψ ∂ x = g ' x

onde g ' x é a derivada de g x .

Substituindo a fórmula de ∂ ψ ∂ x nessa equação:

g ' x   = ∂ ψ ∂ x     ⟹       g ' x   = 0

Agora podemos integrar essa derivada em relação a x para achar g x .

g ' x   = 0       ⟹       ∫ g ' x d x = C       ⟹       g x = C

onde C é uma constante de integração.

Substituindo isso na fórmula de ψ , achamos:

ψ = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2 + g x       ⟹       ψ = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2 + C

Isso quer dizer que para encontrar ψ , só precisamos achar C .

Passo 5

Para achar o valor de C , temos que lembrar que a função ψ vale zero para y igual a 0 ψ 0 = 0 .

ψ = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2 + C       ⟹       ψ 0 = 1 2 μ d P d x 0 3 3 - h 0 2 2 + C       ⟹       0 = C

C = 0

Substituindo essa nova informação na equação de ψ , achamos:

ψ = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2 + C       ⟹       ψ = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2 + 0

ψ = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2

Como ψ é apenas uma função de y nesse caso, podemos dizer que ψ = ψ y .

ψ = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2       ⟹       ψ y = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2

ψ y é uma expressão para a função corrente ψ de uma reta vertical (com coordenada y variável e x constante), porque essa função só varia com y .

Passo 6

Por último, podemos descobrir quanto vale ψ para o fluido que está em contato com a placa de cima (onde y = h ).

ψ y = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2       ⟹       ψ h = 1 2 μ d P d x h 3 3 - h ⋅ h 2 2

ψ h = - h 3 12 μ d P d x

Resposta

ψ y = 1 2 μ d P d x y 3 3 - h y 2 2

ψ h = - h 3 12 μ d P d x

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