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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 38

Há muitas ocasiões em que um escoamento livre razoavelmente uniforme de velocidade V na direção x encontra um longo cilindro circular de raio a alinhado normal ao escoamento (Figura P9-38). Exemplos desse tipo incluem o escoamento do ar ao redor de uma antena de automóvel, o vento soprando contra o mastro de uma bandeira ou um poste telefônico, o vento atingindo os fios da rede elétrica, e correntes oceânicas batendo sobre vigas redondas submersas que suportam as plataformas submarinas. Em todos esses casos, o escoamento na parte detrás do cilindro é separado e não permanente e usualmente turbulento. No entanto, o escoamento na metade da frente do cilindro é muito mais permanente e previsível. Na verdade, exceto quanto a uma camada muito fina próximo à superfície do cilindro, o campo de escoamento pode ser aproximado pela seguinte função corrente permanente, bidimensional no plano x y ou plano r θ , com o cilindro centrado na origem: ψ = V ⋅ s e n θ ⋅ r - a 2 / r . Encontre expressões para as componentes da velocidade radial e tangencial.

Passo 1

O problema quer saber as duas componentes da velocidade do fluido no plano bidimensional r θ : a componente radial u r que é a projeção da velocidade do fluido no eixo r e a componente tangencial u θ que é a projeção da velocidade do fluido no eixo θ . A figura abaixo ilustra essas componentes.

onde V → é a velocidade total do fluido e ψ é a função de corrente associada às linhas de corrente em vermelho. Atenção! Não confunda a função de corrente ψ com a função das linhas de corrente. A função de corrente ψ é uma função que facilita o cálculo das componentes da velocidade do fluido. Já a função da linha de corrente é função que determina a localização dos pontos da linha de corrente (curvas vermelhas).

Além disso, o valor de ψ é constante sobre uma mesma linha de corrente.

No próximo passo nós aprenderemos a calcular as duas componentes da velocidade u r e u θ a partir da função de corrente ψ .

Passo 2

Para calcular as componentes u r e u θ a partir da função de corrente ψ , temos que derivar parcialmente ψ de acordo com as equações 9-27 do livro.

u r = 1 r ⋅ ∂ ψ ∂ θ

u θ = - ∂ ψ ∂ r

Substituindo a função de corrente ψ na fórmula de u r e u θ , encontramos:

u r = 1 r ⋅ ∂ ψ ∂ θ       ⟹       u r = 1 r ⋅ ∂ ∂ θ V ⋅ s e n θ ⋅ r - a 2 r       ⟹       u r = V ⋅ cos ⁡ θ ⋅ 1 - a 2 r 2

u θ = - ∂ ψ ∂ r       ⟹       u θ = - ∂ ∂ r V ⋅ s e n θ ⋅ r - a 2 r       ⟹       u θ = - V ⋅ sen ⁡ θ ⋅ 1 + a 2 r 2

Resposta

u r = V ⋅ cos ⁡ θ ⋅ 1 - a 2 r 2

u θ = - V ⋅ sen ⁡ θ ⋅ 1 + a 2 r 2

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