Considere um escoamento em um canal retangular. Mostre que, para escoamento a uma profundidade crítica e razão de aspecto óptima b = 2 y , a vazão volumétrica e a inclinação do fundo são dadas pelas expressões:

Q = 62,6   y c 5 2 e S c = 24,7   n 2 y c 1 3

Passo 1

Bom, nosso enunciado quer que a gente mostre que a vazão volumétrica e a inclinação do fundo podem ser expressas pelas equações dadas...Show! Então vamos começar com a fórmula geral para a vazão volumétrica, nesse caso:

Q = 1 n * A * R h 2 3 * S b 1 2

Beleza! Destrinchando cada termo:

A = b * y n R h = A P

A = 2 * y n * y n R h = 2 * y n * y n y n + 2 * y n + y n

A = 2 * y n 2 R h = y n 2

Agora podemos passar para o próximo passo!

Passo 2

Bom, já que nós destrinchamos os termos, agora vamos substituí-los na equação geral:

Q = 1 n * A * R h 2 3 * S b 1 2

Q = 1 n * 2 * y n 2 * y n 2 2 3 * S b 1 2

Q = 2 1 3 n * y n 8 3 * S b 1 2

Hum...Conseguimos melhorar, mas ainda não provamos o que o exercícios queria! Podemos então usar a relação da vazão com a força F r .

Passo 3

Se a gente lembrar que:

F r = V g * y

F r = Q A g * y

F r = Q A * g * y

F r = Q 2 * y 2 * g * y n 1 2

F r = Q 2 * g * y n 5 2

Como estamos falando de um fluxo crítico o F r = 1 e y n = y c :

1 = Q 2 * g * y c 5 2

Q = 2 * g * y c 5 2

Q = 6,26 * y c 5 2

Aeee! Já provamos a vazão volumétrica, agora só falta a segunda parte.

Passo 4

Para achar a inclinação do fundo, a gente pode igualar as duas equações de vazão que encontramos, há do passo 2 e há do passo 3, vamos lá!

Q = 2 1 3 n * y n 8 3 * S b 1 2 Q = 2 * g * y c 5 2

2 1 3 n * y n 8 3 * S c 1 2 = 2 * g * y c 5 2

S c 1 2 = 2 * g * y c 5 2 2 1 3 n * y n 8 3

S c = 2 4 3 * g * n 2 * y c - 1 3

S c = 24,7 * n 2 y c 1 3

Show! Arrasamos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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