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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 28

Considere o escoamento laminar, permanente, completamente desenolvido de um fluido viscoso para baixo sobre uma superfície inclinada. A camada de líquido tem espessura constante, h . Utilize um volume de controle diferencial, escolhido convenientemente, para obter o perfil de velocidade. Desenvolva uma expressão para a vazão volumétrica.

Passo 1

Tá legal, então, para um escoamento laminar qualquer, em uma superfície inclinada de um ângulo θ , tomando um volume de controle de comprimento d x , teremos as forças de cisalhamento superior e inferior atuando no volume de controle, de modo que:

τ s = τ + d τ d y . d y 2

τ i = τ + d τ d y - d y 2

Agora, sabendo disso, podemos aplicar o equilíbrio de momento na direção x   para o elemento diferencial, então, teremos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Então, como temos regime permanente, a derivada no tempo será igual a zero, além disso, temos também escoamento totalmente desenvolvido, de forma que a integral sobre a superfície de controle será igual a zero. Então, a equação acima só irá contar com os termos de força de superfície e de campo (já que estamos em uma superfície inclinada), de modo que ela se tornará:

τ + d τ d y . d y 2 d x d z - τ - d τ d y . d y 2 d x d z + ρ g s e n   θ   d x d y d z = 0

Abrindo os termos e simplificando os diferenciais que aparecem em comum, temos:

τ + d τ d y . d y 2 - τ + d τ d y . d y 2 + ρ g s e n θ d y = 0

d τ d y = - ρ g s e n θ

Passo 2

Integrando a expressão encontrada no passo 1 em y , obtemos:

τ = - y ρ g s e n θ + c 1

No entanto, temos uma condição de contorno para nos ajudar a encontrar c 1 , que é:

y = h → τ = 0

Dessa forma, substituindo esses valores na equação anterior, podemos encontrar c 1 :

0 = - h ρ g s e n θ + c 1 → c 1 = ρ g h s e n θ

Então a equação para o cisalhamento se torna:

τ = - y ρ g s e n θ + ρ g h s e n θ → τ = ρ g s e n θ h - y

Agora, sabendo que o cisalhamento pode ser escrito como:

τ = μ d u d y

Substituindo a expressão encontrada para τ , temos:

ρ g s e n θ h - y = μ d u d y → d u d y = ρ g s e n θ h - y μ

Integrando essa expressão em y , temos:

u = ρ g s e n θ h y - y 2 2 μ

Passo 3

Agora, para encontrar uma expressão para a vazão por unidade de profundidade, vamos utilizar a sua definição, dada por:

Q = ∫ V A = ∫ 0 h u b d y

Então, a expressão para a vazão por unidade de profundidade será:

Q b = ∫ 0 h u d y

Dessa forma, substituindo a expressão para o perfil de velocidade encontrado no passo 2, temos:

Q b = ∫ 0 h ρ g s e n θ h y - y 2 2 μ d y

Q b = ρ g s e n θ μ ∫ 0 h h y - y 2 2 d y

Resolvendo a integral, temos:

Q b = ρ g s e n θ μ h y 2 2 - y 3 6 0 h

Substituindo os limites de integração, temos:

Q b = ρ g s e n θ μ h h 2 2 - h 3 6 - 0 → Q b = ρ g s e n θ μ 3 h 3 - h 3 6

Q b = ρ g h 3 s e n θ 3 μ

Resposta

u = ρ g s e n θ h y - y 2 2 μ

Q b = ρ g h 3 s e n θ 3 μ

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