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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 87

5.87 O perfil de velocidade para o escoamento inteiramente desenvolvido em um tubo circular é V r = V m á x 1 - r R 2 . Avalie as taxas de deformação linear e angular para este escoamento. Obtenha uma expressão para o vetor vorticidade, ς → .

Passo 1

Como o perfil de velocidade só depende de r , então:

∂ V θ ∂ θ = 0

∂ V z ∂ z = 0

E como:

∇ ⋅ V → = 1 r ∂ r V r ∂ r + 1 r ∂ V θ ∂ θ + ∂ V z ∂ z = 0

Então:

∂ V r ∂ r = 0

Portanto, a deformanção linear nas três direções são iguais a zero.

Passo 2

As deformações angulares são:

Plano r - θ :

1 r ∂ ∂ r V θ r + ∂ ∂ θ V r = 0

Plano θ - z :

∂ ∂ z V θ + 1 r ∂ ∂ θ V z = 0

Plano r - z :

∂ ∂ z V r + ∂ ∂ r V z = - V m á x 2 r R 2

Passo 3

A vorticidade em coordenadas cilíndricas é:

ς → = ∇ × V →

ς → = 1 r ∂ V z ∂ θ - ∂ V θ ∂ z e ^ r + ∂ V r ∂ z - ∂ V z ∂ r e ^ θ + 1 r ∂ r V θ ∂ r - 1 r ∂ V r ∂ θ k ^

ς → = - V m á x 2 r R 2 e ^ θ

Resposta

A deformanção linear nas três direções são iguais a zero.

Deformação angular

- V m á x 2 r R 2

ς → = - V m á x 2 r R 2 e ^ θ

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