Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 82
Considere o escoamento permanente, incompressível, paralelo, laminar de um fluido viscoso descendo entre duas paredes verticais infinitas (Fig. P9–82). A distância entre as paredes é h, e a gravidade atua na direção negativa de z (para baixo na figura). Não há pressão aplicada (forçada) impulsionando o escoamento – o fluido cai apenas pela gravidade. A pressão é constante em qualquer lugar do campo de escoamento. Calcule o campo de velocidade e esboce o perfil de velocidade usando variáveis adimensionais apropriadas.
Passo 1
Animados para continuar??
Eu espero que siiim !!
Vamos ter que fazer algumas observações, ok?
O problema já nos disse que o escoamento é permanente e incompressível !!
Sabemos pelo problema que o escoamento é constantes, ou seja, as derivadas com relação ao tempo são iguais a zero !!
Também vimos que o escoamento é paralelo, o que isso nos diz? Que a componente x da velocidade, é igual a zero em todos os lugares !!
Se não há pressão sendo aplicada, não há gradiente de pressão, então a pressão será constante em todos os pontos !
Se o escoamento ocorre apenas com relação ao eixo não há velocidade na direção , ou seja, assim como todas as suas derivadas parciais !!
E para finalizar nossos comentários, que são muitíssimos úteis (não se deixem enganar pela preguiça !) existe a força gravitacional no sentido negativo de z, .
Beleza !! Agora nós podemos começar lembrando da equação da continuidade:
As componentes da velocidade são dadas pelo problema, não é verdade?
Podemos substituir:
Para satisfazer a equação de Bernoulli a componente da velocidade não pode variar com relação a z, nem com relação a y, certo? Já que nós não estamos trabalhando com o eixo aqui !!
Então a única opção é que varie com relação a ou melhor,
Passo 2
Se a equação da continuidade é satisfeita nós podemos usar a equação de Navier – Stokes.
Para a direção z, já que vimos que as demais são iguais a zero:
Se só varia com relação a x:
Sabemos também que não há gradiente de pressão:
Substituindo também
Integrando a primeira vez:
Integrando a segunda vez:
E agora? O que faremos?
Precisamos achar estas constantes de integração que apareceram e, por isso, vamos usar nossa tão queridas condições de contorno!!
Passo 3
Segundo a condição de contorno antiderrapante, as paredes do tanque são estacionárias, ou seja:
Não há velocidade:
Substituindo o primeiro valor para x:
E colocando o segundo valor de x:
Substituindo o termo
Substituindo o valor da constante 1 na primeira igualdade:
E agora é só colocar na velocidade:
Passo 4
Achamos a velocidade, mas também queremos o perfil em termos adimensionais!!
Para isso vamos começar reorganizando esta equação:
Chamando:
Substituindo:
Como os valores máximos para são e , teremos que:
Substituindo na fórmula:
Agora é só fazer um gráfico bem bonito e descobriremos o perfil da velocidade:
E chegamos ao fim de mais uma beem legal !!
Resposta
