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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 86

Os dois primeiros termos viscosos no componente θ da equação de Navier -Stokes (Eq. 9-62c) são μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2 . Expanda essa expressão o máximo possível usando a regra do produto, produzindo três termos. Agora combine os três termos em apenas um. (Dica: use a regra do produto ao contrário - algumas tentativas e erros podem ser necessários).

Passo 1

Shoooow galerinha, vamos continuando?!

Vamos começar aplicando a regra do produto aqui:

μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2 = μ 1 r r ∂ 2 u θ ∂ r 2 + ∂ r ∂ r . ∂ u θ ∂ r - u θ r 2

= μ 1 r r ∂ 2 u θ ∂ r 2 + ∂ u θ ∂ r - u θ r 2

= μ ∂ 2 u θ ∂ r 2 + 1 r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2

E fácil assim nós achamos a expressão com três termos !!

Agora nós vamos ter que fazer um caminho inverso!!

Dado estes três termos nós teremos que “juntá-los ” em um só termo.

E aqui nós vamos ter que fazer adaptações, certo?

μ ∂ 2 u θ ∂ r 2 + 1 r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2 = μ ∂ 2 u θ ∂ r 2 + ∂ ∂ r u θ r  

Percebam que se você realizar a regra do produto deste novo termo:

∂ ∂ r u θ r = ∂ ∂ r u θ . r - 1 = r - 1 ∂ u θ ∂ r + u θ ∂ r - 1 ∂ r = 1 r ∂ u θ ∂ r + u θ - 1 r 2 = 1 r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2

Shooow de bolinhas, não é? Não mudamos nada, só adaptamos!!

Bora seguir?

= μ ∂ ∂ r ∂ u θ ∂ r + ∂ ∂ r u θ r  

Agora podemos colocar algumas coisas em evidência:

= μ ∂ ∂ r ∂ u θ ∂ r + u θ r  

= μ ∂ ∂ r 1 r r ∂ u θ ∂ r + u θ

Mais uma regra do produto aparecendo:

r ∂ u θ ∂ r + u θ = ∂ ( r u θ ) ∂ r

Portanto:

= μ ∂ ∂ r 1 r ∂ ( r u θ ) ∂ r

E agora transformamos toda a nossa equação em um único termo !!

Gostosa, não foi?

Resposta

μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2 = μ ∂ 2 u θ ∂ r 2 + 1 r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2 = μ ∂ ∂ r 1 r ∂ ( r u θ ) ∂ r

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