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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 120

Considere o escoamento sobre um cilindro circular de raio a , como no Exemplo 6.11. Mostre que V r = 0 ao longo das linhas ( r , θ ) = r , ± π 2 . Trace um gráfico de V θ U versus o raio para r ≤ a , ao longo da linha ( r , θ ) = r , π 2 . Determine a distância além da qual a influência do cilindro é inferior a 1% de U .

Passo 1

Vamos começar dando uma olhadinha no exemplo 6.11, como o enunciado nos sugeriu.

Consideramos o escoamento do exemplo, vamos ter um perfil de velocidade assim:

V _ = - Λ c o s θ r 2 + U c o s θ i r ^ + - Λ s e n θ r 2 - U s e n θ i θ ^

Vamos separar a velocidade nos componentes r e θ , para avaliar cada um separadamente:

V r = - Λ c o s θ r 2 + U c o s θ V θ = - Λ s e n θ r 2 - U s e n θ

Agora podemos fazer a demonstração que V r = 0 , no passo 2. Vamos lá!

Passo 2

Bom, já temos o V r então vamos substituí-lo no ponto ( r , θ ) = r , ± π 2 para verificar se ele será zero!

V r = - Λ c o s θ r 2 + U c o s θ

V r = - Λ c o s π 2 r 2 + U c o s π 2 V r = - Λ c o s - π 2 r 2 + U c o s - π 2

Lembrando que c o s π 2 = c o s - π 2 = 0 teremos que o nosso V r = 0 ! Show!

Passo 3

Seguindo o exemplo 6.11, mais uma vez, vemos que r = Λ U = a ou de uma maneira mais visual:

r 2 = Λ U = a 2

Beleza? Então vamos continuar, agora avaliando o V θ :

V θ = - Λ s e n θ r 2 - U s e n θ

Podemos reescrever com a nossa afirmação acima, baseada no exemplo 6.11:

V θ = - Λ r 2 + U s e n θ

Sendo a 2 = Λ U :

V θ = - a 2 U r 2 + U s e n θ

V θ = - a 2 r 2 + 1 U s e n θ

Avaliando ele em ( r , θ ) = r , ± π 2 :

V θ = - a 2 r 2 + 1 U s e n π 2 V θ = - a 2 r 2 + 1 U s e n - π 2

V θ U = - a 2 r 2 + 1 V θ U = a 2 r 2 + 1

Passo 4

Agora estamos chegando ao fim de mais uma jornada!

Falta apenas a gente traçar o gráfico V θ U versus o r para r ≤ a e dizer a distância que a influência do cilindro é inferior a 1% de U .

Vamos lá então!

Tendo a equação podemos analisar que se V U = 1,01 → a 2 r 2 = 0,01 , então:

V U ≤ 1 % se r ≥ 10 a

Arrasamos! Uhuul!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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