Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 62

5.62 Um perfil de velocidade aproximadamente senoidal foi usado no Problema 5.12 para modelar o escoamento em uma camada-limite laminar e incompressível sobre uma placa plana. Para este perfil, obtenha expressões para as componentes x e y da aceleração de uma partícula fluida na camada-limite. Trace a x e a y para a posição x=1 m, em que δ = 1   m m , para um escoamento com U = 5   m / s . Encontre os máximos de a x e a y nesta posição x.

Passo 1

Para a componente x :

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Como não tem componente em z e considerando regime permanente,

∂ u ∂ z = 0

∂ u ∂ t

Sendo u = U   s e n   π y 2 σ e v = U π δ x cos ⁡ π 2 y δ + π 2 y δ s e n   π 2 y δ - 1 ,

Onde δ = c x 1 2 e c é uma constante.

Portanto,

u = U   s e n   π y 2 c x 1 2

v = U π c x 1 2 x cos ⁡ π 2 y c x 1 2 + π 2 y c x 1 2 s e n   π 2 y c x 1 2 - 1

v = U π c x 1 2 x cos ⁡ π 2 y c x 1 2 + U π c x 1 2 x π 2 y c x 1 2 s e n   π 2 y c x 1 2 - U π c x 1 2 x

v = U π c x 1 2 cos ⁡ π 2 y c x 1 2 + U 2 y x s e n   π 2 y c x 1 2 - U π c x 1 2

Calculando as derivadas parciais,

∂ u ∂ x = - 1 2 π y c x 3 2 U cos ⁡ π y 2 c x 1 2

∂ u ∂ y = π 2 c x 1 2 U   s e n   π y 2 c x 1 2

Então,

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y

a x = U   s e n   π y 2 c x 1 2 - 1 2 π y c x 3 2 U cos ⁡ π y 2 c x 1 2

+ U π c x 1 2 cos ⁡ π 2 y c x 1 2 + U 2 y x s e n   π 2 y c x 1 2 - U π c x 1 2 π 2 c x 1 2 U   s e n   π y 2 c x 1 2

a x = - 1 2 π y c x 3 2 U 2 s e n   π y 2 c x 1 2   cos ⁡ π y 2 c x 1 2

+ U 2 2 x   s e n   π y 2 c x 1 2   cos ⁡ π 2 y c x 1 2 +   U π y 4 c x 3 2 s e n   π 2 y c x 1 2 2 - U 2 2 x s e n   π y 2 c x 1 2

Se voltarmos substituindo c x 1 2 = δ :

a x = - 1 2 π y x δ U 2 s e n   π y 2 δ   cos ⁡ π y 2 δ

+ U 2 2 x   s e n   π y 2 δ   cos ⁡ π 2 y δ +   U π y 4 x δ s e n   π 2 y δ 2 - U 2 2 x s e n   π y 2 δ

Passo 2

Para a componente y :

a y = u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y

Sendo u = U   s e n   π y 2 σ e v = U π δ x cos ⁡ π 2 y δ + π 2 y δ s e n   π 2 y δ - 1 ,

Onde δ = c x 1 2 e c é uma constante.

Portanto,

u = U   s e n   π y 2 c x 1 2

v = U π c x 1 2 x cos ⁡ π 2 y c x 1 2 + π 2 y c x 1 2 s e n   π 2 y c x 1 2 - 1

v = U π c x 1 2 x cos ⁡ π 2 y c x 1 2 + U π c x 1 2 x π 2 y c x 1 2 s e n   π 2 y c x 1 2 - U π c x 1 2 x

v = U π c x 1 2 cos ⁡ π 2 y c x 1 2 + U 2 y x s e n   π 2 y c x 1 2 - U π c x 1 2

Calculando as derivadas parciais,

∂ v ∂ x = - 1 2   U π c x 3 2   cos ⁡ π 2 y c x 1 2 + U π c x 1 2 (

∂ v ∂ y = π 2 c x 1 2 U   s e n   π y 2 c x 1 2

Então,

a y = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y

a x = U   s e n   π y 2 c x 1 2 - 1 2 π y c x 3 2 U cos ⁡ π y 2 c x 1 2 + U   s e n   π y 2 c x 1 2 π 2 c x 1 2 U   s e n   π y 2 c x 1 2

a x = - 1 2 π y c x 3 2 U 2 s e n   π y 2 c x 1 2   cos ⁡ π y 2 c x 1 2 + π 2 c x 1 2 U 2 s e n   π y 2 c x 1 2 2

Se voltarmos substituindo c x 1 2 = δ :

a x = - 1 2 π y x δ U 2 s e n   π y 2 δ   cos ⁡ π y 2 δ + π 2 δ U 2 s e n   π y 2 δ 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Compare o fator de forma H (definido na Equação 10-95) para uma camada limite laminar versus camada limite turbulenta sobre uma placa plana, assumindo que a camada limite turbulenta é turbulenta desde
Para a aproximação linear do Problema 10 - 83 , use a definição de coeficiente local de atrito superficial e a equação integral de Kárman para gera uma expressão para δ / x . Compare o seu resultado c
Calcule o valor do fator de forma H para o caso limite de uma camada limite que é infinitesimalmente fina (Figura P 10 - 89 ). Esse valor de H é o valor mínimo possível.
O perfil de Blasius da camada limite é uma solução exata das equações da camada limite para escoamento sobre uma placa plana. No entanto, os resultados são um pouco incômodos de usar, pois os dados ap
Para a aproximação da onda senoidal do Problema 10 - 85 , use a definição de coeficiente local de atrito superficial e a equação integral de Kárman para gerar uma expressão para δ / x . Compare o seu