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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 102

Para o filme de óleo em movimento descendente no Problema 9 - 101 , calcule a vazão em volume por unidade de largura do óleo descendo pela parede ( V ˙ / L ) em função da velocidade V da parede e de outros parâmetros do problema. Calcule a velocidade da parede de forma que não haja escoamento total volumétrico de óleo nem para cima nem para baixo. Forneça a sua resposta para V em termos dos outros parâmetros do problema, ou seja, ρ , μ , h e g . Calcule V para vazão de volume zero para um filme de espessura 5,0   m m com ρ = 888   k g / m 3 e μ = 0,80   k g / m s .

Passo 1

Para começar, vamos retomar o Problema 9 - 101 . Nossa situação era:

Tínhamos uma película de óleo em contato com uma parede se movendo a uma velocidade V . Como resultado do movimento da parede e da força gravitacional, a película de óleo escoava na direção z , de acordo com um perfil de velocidade:

w = ρ g μ x 2 2 - h x + V

Tudo bem até aqui? Legal!

Devemos agora usar esse perfil para obter a vazão de óleo por unidade de largura da parede. Vamos lá?

Passo 2

Para obter a vazão vamos aplicar a seguinte relação:

V ˙ = ∫ 0 h ∫ 0 L w d y d x

Ou seja, a vazão é a integral da velocidade em relação à área de escoamento. Tudo bem?

Substituindo o perfil de velocidade w :

V ˙ = ∫ 0 h ∫ 0 L ρ g μ x 2 2 - h x + V d y d x

Integrando em y ficamos com:

V ˙ = ∫ 0 h ρ g μ x 2 2 - h x + V y 0 L d x

V ˙ = ∫ 0 h ρ g μ x 2 2 - h x + V × ( L - 0 ) d x

V ˙ = ∫ 0 h ρ g μ x 2 2 - h x + V × L d x

Como L é constante, podemos tirá-lo da integral e, passar para o outro lado dividindo. E chegamos em:

V ˙ L = ∫ 0 h ρ g μ x 2 2 - h x + V d x

Passo 3

Para obter uma relação de V ˙ L devemos agora fazer a integração em x . Chegando em:

V ˙ L = ∫ 0 h ρ g μ x 2 2 - h x + V d x

V ˙ L = ρ g μ x 3 6 - h x 2 2 + V x x = 0 x = h

V ˙ L = ρ g μ h 3 6 - h h 2 2 + V h - ρ g μ 0 - 0 + V × 0

V ˙ L = ρ g μ h 3 6 - h 3 2 + V h

V ˙ L = ρ g h 3 2 μ 1 3 - 1 + V h

V ˙ L = ρ g h 3 2 μ - 2 3 + V h

Para finalizar o exercício, vamos aplicar os dados fornecidos pelo enunciado: V ˙ = 0 , h = 5 × 10 - 3   m , ρ = 888   k g / m 3 e μ = 0,80   k g / m s , para obter a velocidade V :

0 = 888 × 9,81 × 5 × 10 - 3 3 2 × 0,80 × - 2 3 + V × 5 × 10 - 3

888 × 9,81 × 5 × 10 - 3 3 2 × 0,80 × 2 3 = V × 5 × 10 - 3

V = 888 × 9,81 × 5 × 10 - 3 3 2 × 0,80 × 5 × 10 - 3 × 2 3

V = 0,09   m / s

Resposta

A vazão volumétrica por unidade de largura da parede é:

V ˙ L = ρ g h 3 2 μ - 2 3 + V h

Para os dados do enunciado: V = 0,09   m / s

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