Repita o Exemplo , no caso em que a parede está se movendo para cima com velocidade . Como verificação, certifique-se de que o seu resultado coincida com aquele do Exemplo quando . Torne a sua equação do perfil de velocidades adimensional utilizando a mesma normalização do Exemplo , e mostre que aparece um número de Froude e um número de Reynolds. Faça o gráfico do perfil versus para casos em que e , e . Discuta.

Como o óleo está escoando na direção , vamos usar agora a equação de Navier-Stokes para esta componente:

Para resolver vamos agora olhar mais de perto para cada termo.

Começando pelo lado esquerdo. Estamos considerando um processo estacionário e as componentes de velocidade e são nulas. Além disso, vimos pela equação da continuidade que . Então:

Assim, o lado esquerdo da equação se reduz à:

Tudo bem até aqui?

Vamos agora olhar para os termos do lado direito. Vamos assumir que o fluido escoa devido à força da gravidade e, pela movimentação da parede. Ou seja, o gradiente de pressão é desprezível.

Pela figura, podemos ver que a gravidade atua na direção . Além disso, pela equação da continuidade concluímos que . Então:

E a nossa equação fica:

Para continuar, vamos agora integrar a equação em relação à :

Para obter podemos aplicar uma condição de contorno. Na interface óleo-ar a tensão superficial é mínima. Certo?

Então, se o atrito é mínimo, esperamos que a velocidade máxima aconteça em .

Ou seja:

Substituindo na relação anterior:

Para continuar, vamos integrar novamente em relação à :

Novamente, para obter a constante vamos aplicar a segunda condição de contorno. Tudo bem?

Pela hipótese da aderência a velocidade do fluido em contato com a parede deve ser igual à velocidade da parede. Ou seja:

Substituindo no perfil:

Vamos começar verificando se nosso perfil coincide com o obtido no Exemplo . Fazendo , nosso perfil se reduz à:

Rearranjando:

Que é o mesmo resultado do Exemplo .

Agora que confirmamos o nosso resultado, vamos fazer a adimensionalização da equação:

Voltando para o perfil:

Agora que aplicamos a adimensionalização, precisamos ainda mostrar que aparecerão um número de Reynolds e um número de Fraude. Este será o nosso próximo passo.

O número de Fraude é dado por:

E o número de Reynolds é:

Vamos retornar ao perfil e tentar chegar nessas relações. Tudo bem?

Para finalizar, vamos fazer os perfis versus para os casos em que e , e .

Com o auxílio de Excel podemos plotar os gráficos das funções:

E

Devemos obter algo da forma:

A partir dos gráficos podemos ver a taxa com que a velocidade adimensional decresce independe da relação , já que a relação corresponde ao coeficiente linear da curva .