Enunciado

Repita o Exemplo 9 - 17 , no caso em que a parede está se movendo para cima com velocidade V . Como verificação, certifique-se de que o seu resultado coincida com aquele do Exemplo 9 - 17 quando V = 0 . Torne a sua equação do perfil de velocidades adimensional utilizando a mesma normalização do Exemplo 9 - 17 , e mostre que aparece um número de Froude e um número de Reynolds. Faça o gráfico do perfil w * versus x * para casos em que F r = 0,5 e R e = 0,5 , 1,0 e 5,0 . Discuta.

Passo 1

Vamos começar desenhando a figura do Exemplo 9 - 17 , tomando o cuidado de agora considerar que a parede se move a uma velocidade V :

Assim como no Exemplo 9 - 17 devemos obter o perfil de velocidades para esta situação. Vamos lá?

O primeiro passo para isso será aplicar a equação da continuidade em coordenadas cartesianas:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

Para resolver, vamos considerar que temos um escoamento estacionário e um fluido incompressível de propriedades constantes. Além disso, a única componente de velocidade não nula é w . Então:

∂ ρ ∂ t = 0 ;

u = 0 → ∂ ∂ x ρ u = 0 ;

v = 0 → ∂ ∂ y ρ v = 0 ;

E a equação da continuidade se reduz à:

∂ ∂ z ρ w = 0

∂ w ∂ z = 0

Ou seja, a velocidade w não é função da direção z . O que é equivalente a dizer:

w = w x

Nosso próximo passo para obter o perfil de velocidades será aplicar a equação de Navier-Stokes.

Passo 2

Como o óleo está escoando na direção z , vamos usar agora a equação de Navier-Stokes para esta componente:

ρ ∂ w d t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = - ∂ P ∂ z + ρ g z + μ ∂ 2 w ∂ x 2 + ∂ 2 w ∂ y 2 + ∂ 2 w ∂ z 2

Para resolver vamos agora olhar mais de perto para cada termo.

Começando pelo lado esquerdo. Estamos considerando um processo estacionário e as componentes de velocidade u e v são nulas. Além disso, vimos pela equação da continuidade que w = w ( x ) . Então:

∂ w d t = 0 ;

u = 0 → u ∂ w ∂ x = 0 ;

v = 0 → v ∂ w ∂ y = 0 ;

∂ w ∂ z = 0 → w ∂ w ∂ z = 0

Assim, o lado esquerdo da equação se reduz à:

ρ 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Tudo bem até aqui?

Vamos agora olhar para os termos do lado direito. Vamos assumir que o fluido escoa devido à força da gravidade e, pela movimentação da parede. Ou seja, o gradiente de pressão é desprezível.

Pela figura, podemos ver que a gravidade atua na direção - z . Além disso, pela equação da continuidade concluímos que w = w x . Então:

∂ P ∂ z = 0 ;

ρ g z = - ρ g ;

∂ 2 w ∂ y 2 = 0 ;

∂ 2 w ∂ z 2 = 0

E a nossa equação fica:

0 = - ρ g + μ ∂ 2 w ∂ x 2

ρ g = μ ∂ 2 w ∂ x 2

∂ 2 w ∂ x 2 = ρ g μ

Passo 3

Para continuar, vamos agora integrar a equação em relação à ∂ x :

∫ ∂ 2 w ∂ x 2 ∂ x = ∫ ρ g μ ∂ x

∂ w ∂ x = ρ g μ x + C 1

Para obter C 1 podemos aplicar uma condição de contorno. Na interface óleo-ar a tensão superficial é mínima. Certo?

Então, se o atrito é mínimo, esperamos que a velocidade máxima aconteça em x = h .

Ou seja:

∂ w ∂ x x = h = 0 = ρ g μ h + C 1

C 1 = - ρ g μ h

Substituindo na relação anterior:

∂ w ∂ x = ρ g μ x - ρ g μ h

∂ w ∂ x = ρ g μ ( x - h )

Para continuar, vamos integrar novamente em relação à ∂ x :

∫ ∂ w ∂ x ∂ x = ∫ ρ g μ x - h ∂ x

w = ρ g μ x 2 2 - h x + C 2

Novamente, para obter a constante C 2 vamos aplicar a segunda condição de contorno. Tudo bem?

Pela hipótese da aderência a velocidade do fluido em contato com a parede deve ser igual à velocidade da parede. Ou seja:

w x = 0 = V

V = ρ g μ 0 2 2 - h 0 + C 2

C 2 = V

Substituindo no perfil:

w = ρ g μ x 2 2 - h x + V

Passo 4

Vamos começar verificando se nosso perfil coincide com o obtido no Exemplo 9 - 17 . Fazendo V = 0 , nosso perfil se reduz à:

w = ρ g μ x 2 2 - h x

Rearranjando:

w = ρ g x 2 μ ( x - 2 h )

Que é o mesmo resultado do Exemplo 9 - 17 .

Agora que confirmamos o nosso resultado, vamos fazer a adimensionalização da equação:

x * = x h

w * = w μ ρ g h 2

Voltando para o perfil:

w = ρ g μ x 2 2 - h x h 2 h 2 + V

w = ρ g h 2 μ x 2 2 h 2 - h x h 2 + V

w μ ρ g h 2 = x * 2 2 - x * + V μ ρ g h 2

w * = x * x * 2 - 1 + V μ ρ g h 2

w * = x * 2 x * - 2 + V μ ρ g h 2

Agora que aplicamos a adimensionalização, precisamos ainda mostrar que aparecerão um número de Reynolds e um número de Fraude. Este será o nosso próximo passo.

Passo 5

O número de Fraude é dado por:

F r = V 2 h g

E o número de Reynolds é:

R e = ρ V h μ

Vamos retornar ao perfil e tentar chegar nessas relações. Tudo bem?

w * = x * 2 x * - 2 + V μ ρ g h 2

w * = x * 2 x * - 2 + V μ ρ g h h × V V

w * = x * 2 x * - 2 + V 2 μ ρ g h h V

w * = x * 2 x * - 2 + V 2 g h × μ ρ V h

w * = x * 2 x * - 2 + F r × 1 R e

w * = x * 2 x * - 2 + F r R e

Para finalizar, vamos fazer os perfis w * versus x * para os casos em que F r = 0,5 e R e = 0,5 , 1,0 e 5,0 .

Passo 6

Com o auxílio de Excel podemos plotar os gráficos das funções:

w 1 * = x * 2 x * - 2 + 0,5 0,5

w 2 * = x * 2 x * - 2 + 0,5 1

E

w 3 * = x * 2 x * - 2 + 0,5 5

Devemos obter algo da forma:

A partir dos gráficos podemos ver a taxa com que a velocidade adimensional decresce independe da relação F r / R e , já que a relação F r / R e corresponde ao coeficiente linear da curva w * .

Resposta

Perfil de velocidade: w = ρ g μ x 2 2 - h x + V

Perfil de velocidade adimensionalizado: w * = x * 2 x * - 2 + F r R e

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