Enunciado

Considere uma esfera e um cilindro de igual volume feitos de cobre. Tanto a esfera quanto o cilindro estão inicialmente á mesma temperatura e expostos à convecção no mesmo ambiente. Qual você acredita que vai esfriar mais rápido: o cilindro ou a esfera? Por quê?

Passo 1

Fala galera!!

Podemos começar analisando o seguinte gráfico do livro:

Esse gráfico vem da seguinte equação:

T t - T ∞ T i - T ∞ = e - b t

Onde

b = h A s ρ V c p

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor,  A s é a área da superfície,  ρ é a densidade do material,  V  é o volume do material e  c p é o calor específico.

Vamos supor que, para ambos os materiais, o número de Biot seja menor que 0,1 . Podemos perceber pelo gráfico que quanto maior o valor de  b , mais rápido ocorre uma mudança de temperatura. Então, para o cilindro e a esfera de mesmo volume, quem tiver o maior valor de b esfriará mais rápido.

Passo 2

Foi dito no enunciado que, a esfera e o cilindro são feitos do mesmo material e tem o mesmo volume, logo, os valores de h , ρ , V e c p são iguais. Então a única coisa que irá diferenciar o valor de b para os dois é a área superficial. Quem tiver maior área superficial, terá maior valor de b , logo, esfriará mais rápido.

Podemos usar a relação de que o volume de uma esfera e cilindro é igual.

V e = V c

4 3 π r 3 = π R 2 h

Aqui,  r  é o raio da esfera,  R  é o raio do cilindro e  h  é a altura do cilindro. Podemos isolar h da seguinte forma:

h = 4 r 3 3 R 2

Podemos escrever a como sendo uma proporção da área de superfície da esfera e do cilindro.

a = 4 π r 2 2 π R h + 2 π R 2

Podemos substituir h pela relação que encontramos a partir do volume. Assim temos:

a = 4 π r 2 2 π R 4 r 3 3 R 2 + 2 π R 2

a = 6 R r 2 4 r 3 + 3 R 3

Podemos tiver o denominador e o numerador por r 3 .

a = 6 R r 2 r 3 4 r 3 + 3 R 3 r 3

a = 6 R r 4 + 3 R 3 r 3

a = 6 R / r 4 + 3 R / r   3

Passo 3

O valor de  a  sempre será menor que 1 para cada valor da razão,  R / r desde que os valores de  R  e  r  sejam positivos.

Assim, a área de superfície da esfera será menor que a área de superfície do cilindro e, portanto, o valor de  b  para a esfera será menor que o valor de  b  para o cilindro.

Portanto, o cilindro esfria mais rápido que a esfera.

Resposta

O cilindro esfria mais rápido.

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