Frutos cítricos são sensíveis ao frio, e a exposição prolongada a temperaturas negativas pode destruí-los. Considere uma laranja de 8   c m de diâmetro inicialmente a 15 ℃ . Uma frente fria se desloca à noite e, de repente, a temperatura ambiente cai para - 6 ℃ , com coeficiente de transferência de calor de 15   W / m 2 ⋅ K . Utilizando as propriedades da água para a laranja e assumindo que as condições ambientais se mantêm constante por 4 horas antes que a frente fria se desloque para longe, determine se alguma parte da laranja congelará naquela noite.

Passo 1

Podemos obter as propriedades da laranja aproximadas pelas da água à temperatura média de  5 ℃ na Tabela A-9, “Propriedades da água saturada”, no livro didático.

Dados fornecidos:

k = 0,571   W / m ⋅ K

c p = 4205   J / k g ⋅ K

ρ = 1000   k g / m 3

h = 15   W / m 2 ⋅ K

T i = 15 ℃

T ∞ = - 6 ℃

t = 4   h o r a s = 14400   s

D = 8   c m = 0,08   m

Passo 2

Para resolver essa questão, podemos começar calculando o número do Biot. Assim temos:

B i = h r o k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor por convecção, r o é o raio da esfera e k é a condutividade térmica. Substituindo pelos dados que pegamos na tabela, temos:

B i = 15   W / m 2 ⋅ K × 0,04   m 0,571   W / m ⋅ K

B i = 1,05079

Agora, vamos encontrar as constantes λ 1 e A 1 correspondentes a este número Biot, na tabela 4-2. Por interpolação, temos que:

λ 1 = 1,5708 + 2,0288 - 1,5708 × 1,05079 - 1 2 - 1

λ 1 = 1,5941

A 1 = 1 , 2732 + 1,4793 - 1,2732 × 1,05079 - 1 2 - 1

A 1 = 1 , 2837

Passo 3

Precisamos calcular o número de Fourier, mas para isso, temos que encontrar a difusividade térmica da laranja. Podemos calcular da seguinte maneira:

α = k ρ c p

Substituindo os valores conhecido, temos:

α = 0,571   W / m ⋅ K   1000   k g / m 3 × 4205   J / k g ⋅ K

α = 0,136 × 10 - 6   m 2 / s

Com a difusividade térmica, vamos calcular o número de Fourier.

τ = α t r o 2

Substituindo pelos dados conhecido, temos:

τ = 0,136 × 10 - 6   m 2 / s × 14400   s 0,04   m 2

τ = 1,222

Temos que   τ > 0,2 , portanto, a solução aproximada de um termo é aplicável.

Passo 4

Agora, vamos calcular a temperatura da superfície das laranjas a partir da solução aproximada com um termo para esfera. Ela pode ser escrita da seguinte maneira.

θ s , e s f e r a = T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r r o λ 1 r r o

Aqui,  T s é a temperatura na superfície da laranja,  T i é a temperatura inicial,  T ∞ é a temperatura ambiente, A 1 e λ 1 são as constantes. Na superfície, temos que r = r o , assim, a equação fica:

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r o r o λ 1 r o r o

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 λ 1

Substituindo os valores conhecido ficamos com a seguinte equação:

T s - - 6 ℃ 15 ℃ - - 6 ℃ = 1,2837 e - 1,5941 2 1,222 × sen ⁡ 1,5941 1,5941

T s = - 6 ℃ + 21 ℃ × 0,03607

T s = - 5,24 ℃

A temperatura da superfície das laranjas é menor que a temperatura de congelamento da água. Portanto, as laranjas congelam.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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