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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 91

Considere uma esfera homogênea de raio r 0 = 0,04   m composta por material radioativo que gera calor a uma taxa constante de e ˙ g e r = 5 × 10 7   W / m 3 . O calor gerado é dissipado constantemente para o ambiente. A superfície externa da esfera é mantida a uma temperatura uniforme de 110 °C, e a condutividade térmica da esfera é k = 15   W / m ⋅ K . Considerando que a transferência de calor é unidimensional e permanente, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor através da esfera, (b) obtenha a relação para a variação da temperatura na esfera resolvendo a equação diferencial e (c) determine a temperatura no centro da esfera.

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, geração de calor e condutividade térmica constante.

Como estamos trabalhando com uma esfera, vamos utilizar o sistema de coordenadas esférica. Portanto, devido as nossas hipóteses iniciais, a EDO que rege o nosso problema é:

1 r 2 d d r r 2 d T d r + e ˙ g e r k = 0

Agora, precisamos discutir as condições de contorno que o nosso problema está sujeito, os quais são dois. O primeiro é a simetria da esfera. Esta simetria implica em dizer que a temperatura máxima da esfera está localizada no meio dela. Consequentemente, não há condução de calor em r = 0 . Portanto:

- k d T d r r = 0 = 0

Já a outra é a temperatura constante na superfície. Portanto, temos:

T r 0 = T s = 110   ° C

Passo 2

Agora, precisamos resolver a nossa EDO e utilizar as condições de contorno, pois, determinar a variação de temperatura na placa nada mais é do que determinar a distribuição de temperatura nela. Portanto, temos:

1 r 2 d d r r 2 d T d r = - e ˙ g e r k

r 2 d T d r = - e ˙ g e r 3 k r 3 + C 1

Vamos utilizar a nossa primeira condição de contorno, a simetria do problema. Com isto, temos:

d T d r r = 0 = 0

Logo,

r 2 d T d r = 0 = - e ˙ g e r 3 k 0 3 + C 1

C 1 = 0

Agora que descobrimos o valor da primeira constante, vamos continuar a resolver a nossa EDO. Portanto:

r 2 d T d r = - e ˙ g e r 3 k r 3

d T d r = - e ˙ g e r 3 k r

T r = - e ˙ g e r 6 k r 2 + C 2

Precisamos utilizar a nossa segunda condição de contorno. Portanto, temos:

T r 0 = - e ˙ g e r 6 k r 0 2 + C 2 = 110

C 2 = 110 + e ˙ g e r 6 k r 0 2 = 110 + 5 ⋅ 10 7 6 ⋅ 15 ⋅ 0,04 2 = 999

Portanto, a distribuição de temperatura na nossa esfera é:

T r = - e ˙ g e r 6 k r 2 + C 2

T r = - 5,555 ⋅ 10 5 ⋅ r 2 + 999

E é isto ai a variação da temperatura na esfera!

Passo 3

Estamos quase terminando a nossa questão! Agora, basta descobrirmos a temperatura no centro da esfera. E isto é o nosso passo mais fácil agora! Basta pegarmos a função T r encontrada anteriormente e substituir o valor r = 0 nela. Com isto, temos:

T 0 = - 5,555 ⋅ 10 5 ⋅ 0 2 + 999

T 0 = 999   ° C

Resposta

  1. A EDO é:

    2. 1 r 2 d d r r 2 d T d r + e ˙ g e r k = 0

    E as condições de contorno são:

    - k d T d r r = 0 = 0

    T r 0 = T s = 110   ° C

  2. A distribuição de temperatura na esfera é:

    3. T r = - 5,555 ⋅ 10 5 ⋅ r 2 + 999

  3. A temperatura na linha central é:

T 0 = 999   ° C

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