Enunciado

63 - Considere um pino (aleta) horizontal com 6   m m de diâmetro e 60   m m de comprimento fabricado em aço-carbono não ligado ( k = 57   W / ( m · K ) ,   ε = 0,5 ) . A base do pino é mantida a 150   ℃ , enquanto o ar ambiente quiescente e a vizinhança estão a 25   ℃ . Considere a extremidade do pino adiabática.

(a) Estime a taxa de transferência de calor no pino, q a . Use uma temperatura média para a superfície do pino de 125   ℃ ao avaliar o coeficiente de transferência de calor por convecção natural e o coeficiente de transferência por radiação linearizado. Qual é a sensibilidade dessa estimativa em relação à sua escolha da temperatura média para a superfície do pino?

(b) Use o método de diferenças finitas para obter q a com os coeficientes de transferência de calor por convecção e por radiação com base nas temperaturas locais no pino, ao invés da temperatura média. Como seu resultado se compara ao da solução analítica obtido na parte (a)?

Passo 1

Considere a seguinte figura mostrando a aleta:

Passo 2

Como dito na letra (a), usaremos a temperatura de 125   ℃ para superfície.

Portanto, a temperatura de filme é:

T f = T s + T ∞ 2

= 125 + 25 2

= 75 ℃ = 348   K

Portanto, obtenha as propriedades do ar à temperatura de T f = 348   K .

Viscosidade cinemática é:

v = 20,72 × 10 - 6   m 2 / s

Condutividade térmica é:

k = 0,02985   W \ m K

A difusividade térmica é:

α = 29,60 × 10 - 6   m 2 / s

O número Prandtl é:

P r = 0,7003

O Coeficiente de expansão é:

β = 1 T f

= 1 348

β = 2,8735 × 10 - 3   K - 1

Passo 3

O número Rayleigh pode ser calculado com a seguinte relação:

R a D = g β T s - T ∞ D 3 v α

Substituindo pelos valores conhecidos, temos:

= 9,81 × ( 2,8735 × 10 - 3   ) 125 - 25 0,006 3 ( 20,72 × 10 - 6 ) ( 29,60 × 10 - 6   )

R a D = 991,79

Temos que a taxa de calor para a aleta do pino com uma ponta adiabática é dada por:

q f = M t a n h   ( m L )

Onde:

M = h t o t P k A c 1 2 θ b

m = h P k A c 1 2

P = π D

A C = π D 2 4

θ b = T b - T ∞

h t o t = h f c + h r a d

Passo 4

Vamos começar então, calculando o número de Nusselt para depois encontrar o coeficiente convectivo.

N u D = 0,60 + 0,387 R a D 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

= 0,60 + 0,387 991,79 1 6 1 + 0,559 0,7003 9 16 8 27 2

= 0,60 + 1,221 1,2058 2

= 2,603

Passo 5

Agora precisamos calcular os dois coeficientes convectivos ( h f c   e   h r a d ) para obter o h t o t .

h f c = 2,603 0,02985 0,006

= 12,94   W / m 2 ⋅ K

h r a d = ε A σ ( T s + T ∞ ) ( T s 2 + T ∞ 2 )  

Aqui, T s é a temperatura da superfície, ε é a emissividade,  σ é a constante de Stefan-Boltzmann e T ∞ é a temperatura ambiente.

= 0,5 × 5,67 × 10 - 8 × 398 + 298 × [ ( 398 2 + 298 2 ]

= 4,88   W / m 2 ⋅ K

Agora que temos ambas, podemos calcular a total:

h t o t = h f c + h r a d

= 12,94   W / m 2 ⋅ K + 4,88   W / m 2 ⋅ K

= 17,81   W / m 2 ⋅ K

Passo 6

Temos agora como achar a taxa de calor para a aleta do pino com uma ponta adiabática, basta substituir pelos valores conhecidos. q f = M t a n h   ( m L )

M = 17,81 ( 0,01885 ) ( 0,02985 ) ( 2,827 × 10 - 5 ) 1 2 125

m = 0,01885 × 17,81 0,02985 × 2,827 × 10 - 5 1 2

Logo, temos que:

q f = [ 17,81 ( 0,01885 ) ( 0,02985 ) ( 2,827 × 10 - 5 ) 1 2 125

] tanh ⁡ 0,01885 × 17,81 0,02985 × 2,827 × 10 - 5 1 2 × 0,06

q f = 2,04

Passo 7

Usando a mesma análise feita anteriormente, temos que o método de diferenças finitas para superfícies estendidas fornece os seguintes resultados:

A partir dos valores acima, observa-se que a aleta não é muito sensível à variação em  T s .

Resposta

  1. q f = 2,04
  2. Pergunte a um especialista.
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