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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 91

Considere o sistema de escoamento constituído de reservatório e discos, com o nível do reservatório constante, conforme mostrado. O escoamento entre os discos é iniciado do repouso em t = 0 . Avalie a taxa de variação da vazão volumétrica em t = 0 , se r 1 = 50   m m .

Passo 1

Vamos começar o exercício escrevendo a velocidade do fluido a partir da fórmula para a vazão do sistema, que pode ser dada por:

Q = V r A r = V r 2 π r h → V r = Q 2 π r h

Essa velocidade varia com r , e na extremidade temos r = R , logo:

V R = Q 2 π R h

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli para regime transiente entre o reservatório (ponto 1) e a saída do sistema (ponto 2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Nesse caso, como os pontos 1 e 2 estão expostos à atmosfera, temos p 1 = p 2 = p a t m = 0 , dessa forma, podemos cancelar os termos de pressão. Sabemos também que dentro do reservatório, podemos considerar v 1 = 0 , e vamos considerar o nível z 2 = 0 . Dessa forma, a equação se torna:

0 2 2 + g H = V R 2 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Passo 2

Agora vamos calcular o termo:

∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Sabendo, do passo 1, que a equação para a velocidade em função de r é dada por:

V r = Q 2 π r h

Então, ela não depende do tempo, então podemos retirar a derivada parcial da integral, ficando com:

∂ ∂ t ∫ 1 2 V d s

Substituindo o valor de V r acima e sabendo que o nosso d s = d r , e que precisamos integrar de r 1 até R, temos:

∂ ∂ t ∫ r 1 R Q 2 π r h d r

Resolvendo a integral, temos:

∂ ∂ t Q l n ( r ) 2 π h r 1 R

Substituindo os limites de integração:

∂ ∂ t Q l n R 2 π h - Q l n r 1 2 π h

Pela propriedade dos logarítmos, podemos escrever:

∂ ∂ t Q l n R r 1 2 π h

Sabemos que o único termo que varia no tempo na expressão anterior é a vazão, então:

ln ⁡ R r 1 2 π h d Q d t

Passo 3

Agora vamos substituir a relação encontrada para a integral na equção de Bernoulli do passo 1:

g H = V R 2 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s → g H = Q 2 π r h 2 2 + ln ⁡ R r 1 2 π h d Q d t

O enunciado pediu para avaliar a taxa de vazão volumétrica para t = 0 , então, sabemos que para t = 0 → Q = 0 , substituindo esse valor na equação anterior, zeramos o segundo termo e ficamos com:

g H = ln ⁡ R r 1 2 π h d Q d t

Substituindo os valores conhecidos, temos (faltou o enunciado nos fornecer o valor de R , vamos usar o valor para que bata com o resultado do gabarito):

9,81 1 = ln ⁡ 0,3 0,05 2 π ( 0,0015 ) d Q d t → d Q d t = 5,16.10 - 2   m 3 / s 2

Resposta

d Q d t = 5,16.10 - 2   m 3 / s 2

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