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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 31

Uma correia continua, movendo verticalmente através de um banho de líquido viscoso, arrasta uma camada de líquido de espessura h ao longo dela. Considere que a vazão volumétrica de líquido, Q , depende de μ , ρ , g , h e V , em que V é a velocidade da correia. Aplique a análise dimensional para prever a forma de dependência de Q em relação às outras variáveis.

Passo 1

Bom, o exercício nos pede a dependência de Q em relação às outras variáveis...Para isso temos primeiro que fazer a análise dimensional, começando usando o Teorema Pi de Buckingham!

Separando nossos parâmetros, temos n = 6 :

Q μ ρ g h V

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa ( M ), comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

Q μ ρ g h V

L 3 t M L t M L 3 L t 2 L L t

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 3

Vamos montar as equações:

Π 1 = Q * ρ a * V b * h c

L 3 t * M L 3 a * L t b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   a = 0

L : 3 - 3 a + b + c = 0

t : - 1 - b = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = 0 b = - 1 c = - 2

Passo 3

Nossa equação vai ficar assim:

Π 1 = Q * ρ a * V b * h c

Π 1 = Q * ρ 0 * V - 1 * h - 2

Π 1 = Q V h 2

Isso aí! Vamos adiante!

Passo 4

Agora vamos fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = μ * ρ a * V b * h c

M L t * M L 3 a * L t b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M : 1 +   a = 0

L : - 1 - 3 a + b + c = 0

t : - 1 - b = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 b = - 1 c = - 1

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 2 = μ * ρ a * V b * h c

Π 2 = μ * ρ - 1 * V - 1 * h - 1

Π 2 = μ ρ V h

Show!

Passo 5

A terceira equação vai ser do mesmo jeitinho:

Π 3 = g * ρ a * V b * h c

L t 2 * M L 3 a * L t b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M : a = 0

L : 1 - 3 a + b + c = 0

t : - 2 - b = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = 0 b = - 2 c = 1

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 3 = g * ρ a * V b * h c

Π 3 = g * ρ 0 * V - 2 * h 1

Π 3 = g h V 2

Beleza! Agora para finalizar!

Passo 6

A relação do nosso Q , será:

Π 1 = f Π 2 , Π 3

Q V h 2 = f μ ρ V h , g h V 2

Q = V h 2 f μ ρ V h , g h V 2

Uhul!! Tudo certo!

Resposta

Q = V h 2 f μ ρ V h , g h V 2

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