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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 17

A tensão de cisalhamento na parede, τ w , em uma camada limite depende da distância a partir da borda de ataque do objeto, x , da massa específica, ρ , e da viscosidade, μ , do fluido e da velocidade da corrente livre do escoamento, U . Obtenha os grupos adimensionais e expresse a relação funcional entre eles.

Passo 1

Precisamos achar os grupos adimensionais e a relação funcional entre eles...Ah! Isso é moleza pra gente!

É só a gente usar o Teorema Pi de Buckingham. Vamos lá!

Primeiro separando nossos parâmetros, temos n = 5 :

τ w x ρ μ U

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa M , comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

τ w x ρ μ U

M L t 2 L M L 3 M L t L t

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 2

Uhull! Já podemos montar as equações:

Π 1 = τ w * ρ a * x b * U c

M L t 2 * M L 3 a * L b * L t c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   1 + a = 0

L : - 1 - 3 a + b + c = 0

t : - 2 - c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 b = 0 c = - 2

Passo 4

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 1 = τ w * ρ a * x b * U c

Π 1 = τ w * ρ - 1 * x 0 * U - 2

Π 1 = τ w ρ U 2

Já resolvemos a primeira parte!

Passo 5

Agora é só fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = μ * ρ a * x b * U c

M L t * M L 3 a * L b * L t c = M 0 * L 0 * t 0

Observando com atenção nossos expoentes:

M : 1 + a = 0

L : - 1 - 3 a + b + c = 0

t : - 1 - c = 0

A solução desse sistema nos dá os expoentes a , b e c :

a = - 1 b = - 1 c = - 1

Então nós ficaremos com a segunda equação:

Π 2 = μ * ρ a * x b * U c

Π 2 = μ * ρ - 1 * x - 1 * U - 1

Π 2 = μ ρ x U

Que beleza, hein?! Conseguimos!

Passo 6

Partiu agora para última parte! Encontrar a relação funcional!

Π 1 = f Π 2

τ w ρ U 2 = f μ ρ x U

τ w = ρ U 2 f μ ρ x U

Resposta

τ w = ρ U 2 f μ ρ x U

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