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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 58

Uma corrente elétrica de 700   A passa em um cabo de aço inoxidável com diâmetro de 5   m m e resistência elétrica de 6 x 10 - 4   Ω / m (ou seja, por metro de comprimento do cabo). O cabo encontra-se em um ambiente que está a uma temperatura de 30 ° C e o coeficiente total associado à convecção e à radiação entre o cabo e a vizinhança é de aproximadamente 25   W / ( m 2 · K ) .

a) Se o cabo estiver desencapado, qual será a temperatura na sua superfície?

b) Se um revestimento muito fino de um isolante elétrico for aplicado sobre o cabo, com uma resistência de contato de 0,02   m 2 · K / W , quais serão as temperaturas das superfícies do isolamento e do cabo?

c) Há alguma preocupação em relação à capacidade do isolamento em suportar temperaturas elevadas. Que espessura desse isolante ( k = 0,5   W / ( m · K ) ) produzirá o menor valor para a temperatura máxima no isolante? Qual será o valor da temperatura máxima quando esta espessura de isolante for utilizada?

Passo 1

Letra a)

A taxa na qual o calor é transferido para o ambiente é dada pela taxa de geração de calor no cabo.

Fazendo um balanço de energia para uma superfície de controle sobre o cabo, temos:

E ˙ g e r = q

Então, para um cabo desencapado, temos:

I 2 R e ' L = h ( π D i L ) ( T s - T ∞ )

Sendo:

q ' = I 2 R e l e t '

Dados:

I = 700   A ;

R e l e t ' = 6 x 10 - 4   Ω / m .

Temos:

q ' = 700 2 ⋅ 6 x 10 - 4

q ' = 294   W / m

Rearranjando a equação dada:

q ' L = h ( π D i L ) ( T s - T ∞ )

Simplificando e isolando T s :

T s = T ∞ + q ' h π D i

Dados:

T ∞ = 30 ° C = 303   K ;

h = 25   W / ( m 2 · K ) ;

D i = 5   m m = 0,005   m .

Temos:

T s = 303 + 294 25 ⋅ π ⋅ 0,005

T s = 1051,7   K = 778,7 ° C

Passo 2

Letra b)

Com uma fina camada de isolamento, existem resistências de contato e de convecção atuando na transferência de calor do cabo.

A taxa de transferência de calor é determinada pelo aquecimento dentro do cabo e, portanto, continua a mesma.

q = T s - T ∞ R c o n t + 1 h π D i L

Rearranjando:

q = T s - T ∞ R ' ' c o n t π D i L + 1 h π D i L

q ' = π D i T s - T ∞ R ' ' c o n t + 1 h

Isolando T s :

T s = q ' R ' ' c o n t + 1 h π D i + T ∞

Dado:

R c o n t ' ' = 0,02   m 2 · K / W .

Temos:

T s = 294 ⋅ 0,02 + 1 25 π ⋅ 0,005 + 303

T s = 1426   K = 1153 ° C

Passo 3

A temperatura do isolamento é calculada então por:

q = T s - T i s o R c o n t

Isolando T i s o :

T i s o = T s - q R c o n t

T i s o = T s - q ' R c o n t π D i

Substituindo os dados:

T i s o = 1426 - 294 ⋅ 0,02 π ⋅ 0,005

T i s o = 1051,7   K = 778,7 ° C

Passo 4

Letra c)

A temperatura máxima de isolamento pode ser reduzida diminuindo a resistência de transferência de calor da superfície externa do isolamento, e essa redução é possível se D i < D c r .

Calculando r c r :

r c r = k h = 0,5 25 = 0,02   m

Desse modo:

D c r = 0,04   m > D i = 0,005   m

Para reduzir a temperatura máxima na superfície interna do isolamento, a espessura do isolante deverá ser:

e i s o = D c r - D i 2 = 0,04 - 0,005 2

e i s o = 0,0175   m

Passo 5

A temperatura da superfície do cabo pode ser calculada por:

q ' = T s - T ∞ R ' ' c o n t π D i + ln ⁡ D c r D i 2 π k + 1 h π D c r

Substituindo os dados:

294 = T s - 303 0,02 π ⋅ 0,005 + ln ⁡ 0,04 0,005 2 π ⋅ 0,5 + 1 25 ⋅ π ⋅ 0,04

T s = 965,5   K = 692,5 ° C

A temperatura do isolamento é calculada então por:

q = T s - T i s o R c o n t

Isolando T i s o :

T i s o = T s - q R c o n t

T i s o = T s - q ' R c o n t π D i

Substituindo os dados:

T i s o = 965,5 - 294 ⋅ 0,02 π ⋅ 0,005

T i s o = 591,2   K = 318,2 ° C

Resposta

a )   T s = 1051,7   K = 778,7 ° C

b )   T s = 1426   K = 1153 ° C

T i s o = 1051,7   K = 778,7 ° C

c )   e i s o = 0,0175   m

T i s o = 591,2   K = 318,2 ° C

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