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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 36

Deduza a equação da difusão térmica, Equação 2.29, para coordenadas esféricas partindo do volume de controle diferencial mostrado na Figura 2.13.

Passo 1

Bora pra mais uma questão, uhuuul! Na Figura 2.13 nós temos um sistema tridimensional descrito pelas coordenadas esféricas ( r , ϕ ,   θ )   que experimenta uma condução transitória e geração interna de calor.

E a partir desse sistema, queremos encontrar a equação de difusão de calor, beleza?

Passo 2

Para resolver essa questão nós vamos assumir que o meio é homogêneo. Considerando que o volume de controle diferencial é um volume dado como:

  V   =   d r ⋅ r   s i n θ   d ϕ ⋅ r d θ

Da conservação de energia requerida, temos:

q r - q r + d r + q ϕ - q ϕ + d ϕ + q θ - q θ + d θ + E ˙ g = E ˙ s t

Os termos de geração e armazenamento, ambos representando fenômenos volumétricos, são:

E ˙ g = q ˙ V = q ˙ ( d r ⋅ r   s i n θ   d ϕ ⋅ r d θ )

E ˙ g = ρ V c ∂ T ∂ t = ρ ( d r ⋅ r   s i n θ   d ϕ ⋅ r d θ ) c ∂ T ∂ t

Usando a expansão de série de Taylor, temos:

q r + d r = q r + ∂ ∂ r q r d r

q ϕ + d ϕ = q ϕ + ∂ ∂ ϕ q ϕ d ϕ

q θ + d θ = q θ + ∂ ∂ θ q θ d θ

Passo 3

Usando a Lei de Fourier, a expressão para condução de calor é:

q r = - k A r ∂ T ∂ r = - k ( r   s i n θ   d ϕ ⋅ r d θ ) ∂ T ∂ r

q ϕ = - k A ϕ ∂ T r ∂ ϕ = - k ( d r ⋅ r d θ ) ∂ T r   s i n θ ∂ ϕ

q θ = - k A θ ∂ T r ∂ θ = - k ( r   s i n θ   d ϕ ⋅ d r ) ∂ T r ∂ θ

Substituindo essas equações, junto com as equações de geração e armazenamento na equação de conservação de energia requerida, temos:

- ∂ ∂ r q r d r - ∂ ∂ ϕ q ϕ d ϕ - ∂ ∂ θ q θ d θ + q ˙ ( d r ⋅ r   s i n θ   d ϕ ⋅ r d θ ) = ρ d r ⋅ r   s i n θ   d ϕ ⋅ r d θ c ∂ T ∂ t

Substituindo as equações para condução de calor:

- ∂ ∂ r - k ( r   s i n θ   d ϕ ⋅ r d θ ) ∂ T ∂ r d r - ∂ ∂ ϕ - k d r ⋅ r d θ ∂ T r   s i n θ ∂ ϕ d ϕ - ∂ ∂ θ - k ( r   s i n θ   d ϕ ⋅ d r ) ∂ T r ∂ θ d θ + q ˙ ( d r ⋅ r   s i n θ   d ϕ ⋅ r d θ ) = ρ d r ⋅ r   s i n θ   d ϕ ⋅ r d θ c ∂ T ∂ t

A equação ficou imensa, mas podemos dividir essa expressão por V e obter:

1 r 2   ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ   + 1 r 2 s i n θ ∂ ∂ θ k   s i n θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c ∂ T ∂ t

Resposta

1 r 2   ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ   + 1 r 2 s i n θ ∂ ∂ θ k   s i n θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c ∂ T ∂ t

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