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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 2

Dado o campo de velocidades v → P , t = 6 x ⋅ e → x + 6 y ⋅ e → y + 7 t ⋅ e → z , determinar

  1. A velocidade e a aceleração no ponto ( 3 ; 2 ;   z ) , no instante t = 1
  2. As linhas de corrente no instante t = 6 / 7
  3. A trajetória para P 0 1 ; 1 ; 0 ,   no instante t = 0

Passo 1

Item A)

Para encontrar a velocidade, basta substituir o valor do ponto e do tempo:

v → P , t = 6 x ⋅ e → x + 6 y ⋅ e → y - 7 t ⋅ e → z

v → = 6 ⋅ 3 ⋅ e → x + 6 ⋅ 2 ⋅ e → y - 7 ⋅ 1 ⋅ e → z

v → = 18 ⋅ e → x + 12 ⋅ e → y - 7 ⋅ e → z

Para encontrar a aceleração, vamos derivar a velocidade:

a → = d v → d t

a → = d 6 x ⋅ e → x + 6 y ⋅ e → y - 7 t ⋅ e → z d t

a → = 6 ⋅ d x d t e → x + 6 d y d t ⋅ e → y - 7 t d t ⋅ e → z

Observe que: d x d t = v x e d y d t = v y , que já calculamos:

a → = 6 ⋅ 18 e → x + 6 12 ⋅ e → y - 7 ⋅ e → z

a → = 108 e → x + 72 ⋅ e → y - 7 ⋅ e → z

Passo 2

Item B)

As linhas de corrente são calculadas pela relação:

d x v x = d y v y

d x 6 x = d y 6 y

d x x = d y y

Integrando:

ln ⁡ x = ln ⁡ y + K

x = e ln ⁡ y + K

x = e ln ⁡ y ⋅ e k

Chegamos na linha de corrente xy:

x = C 1 y

Agora faremos o mesmo procedimento para Z:

d x v x = d z v z

d x 6 x = d z - 7 t

Integrando:

ln ⁡ x = - 6 z 7 t

Aplicando: t = 6 / 7

ln ⁡ x = - z

Logo, a linha de corrente é xz:

x = e - z

Passo 3

Item C)

As linhas de trajetórias são dadas por:

d x = v x d t

Agora basta aplicar a velocidade:

d x = 6 x ⋅ d t

d x x = 6 d t

Integrando:

ln ⁡ x = 6 t + K

x = C x e 6 t

Para x = 1 e t = 0

1 = C x

Então:

x = e 6 t

Passo 4

Fazemos o mesmo para Y:

d y = v y d t

d y = 6 y ⋅ d t

d y y = 6 ⋅ d t

∫ d y y = ∫ 6 ⋅ d t

ln ⁡ y = 6 t + K

y = C y e 6 t

Para y = 1 e t = 0

C y = 1

Então: y = e 6 t

E fazemos o mesmo para Z:

d z = v z d t

d z = - 7 t ⋅ d t

∫ d z = ∫ - 7 t ⋅ d t

z = - 7 t 2 2 + K

Para z = 0 e t = 0

K = 0

Então:

z = - 7 t 2 2

Resposta

  1. v → = 18 ⋅ e → x + 12 ⋅ e → y - 7 ⋅ e → z a → = 108 e → x + 72 ⋅ e → y - 7 ⋅ e → z
  2. x = C 1 y x = e - z
  3. x = e 6 t

y = e 6 t

z = - 7 t 2 2

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