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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 2

A carga manométrica de uma bomba centrífuga depende da vazão Q, da massa específica ρ e da viscosidade dinâmica μ do fluido, do diâmetro D do rotor e da rotação n. Determinar os adimensionais característicos da bomba. Função representativa f ρ , n , D , μ , Q , γ H B = 0 .

Passo 1

O primeiro passo é identificar a função representativa, nesse caso, o enunciado já nos forneceu.

f ρ , n , D , μ , Q , γ H B = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; n = T - 1 ; D = L ; μ = M L - 1 T - 1 ; Q = L 3 T - 1 ;

γ H B = M L - 2 T - 2 L = M L - 1 T - 2

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 6   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 6 - 3 → m = 3   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 n α 2 D α 3 μ  

π 2 = ρ β 1 n β 2 D β 3 Q

π 3 = ρ δ 1 n δ 2 D δ 3 γ H B

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 n α 2 D α 3 μ = M L - 3 α 1 T - 1 α 2 L α 3 M L - 1 T - 1

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

α 1 + 1 = 0 → α 1 = - 1

- α 2 - 1 = 0 → α 2 = - 1

- 3 α 1 + α 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + α 3 - 1 = 0 → α 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 n - 1 D - 2 μ → π 1 = μ ρ n D 2 → π 1 = ν n D 2 → R e = n D 2 ν R e y n o l d s

Agora, repetindo o processo para π 2 :

π 2 = ρ β 1 n β 2 D β 3 Q = M L - 3 β 1 T - 1 β 2 L β 3 L 3 T - 1

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

β 1 + 0 = 0 → β 1 = 0

- β 2 - 1 = 0 → β 2 = - 1

- 3 β 1 + β 3 + 3 = 0 → - 3 0 + β 3 + 3 = 0 → β 3 = - 3

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ 0 n - 1 D - 2 Q → π 2 = ϕ = Q n D 3   c o e f i c i e n t e   d e   v a z ã o

Passo 3

Agora vamos encontrar π 3

π 3 = ρ δ 1 n δ 2 D δ 3 γ H B = M L - 3 δ 1 T - 1 δ 2 L δ 3 M L - 1 T - 2

Então, para que π 3 seja adimensional, temos:

δ 1 + 1 = 0 → δ 1 = - 1

- δ 2 - 2 = 0 → δ 2 = - 2

- 3 δ 1 + δ 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + δ 3 - 1 = 0 → δ 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 3 = ρ - 1 n - 2 D - 2 γ H B → π 3 = γ H B ρ n 2 D 2 = ρ g H B ρ n 2 D 2 → ψ = g H B n 2 D 2   ( c o e f i c i e n t e   m a n o m é t r i c o )

Resposta

R e = n D 2 ν R e y n o l d s

ϕ = Q n D 3   c o e f i c i e n t e   d e   v a z ã o

ψ = g H B n 2 D 2   ( c o e f i c i e n t e   m a n o m é t r i c o )

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