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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 3

Dado o escoamento cujo campo de velocidades é: v x = x t ; v y = y t ; v z = 0   , determinar

  1. A equação da linha de corrente que passa pelo ponto P 1 2 ; 1 ; 2
  2. A equação da trajetória que passa por P 1 , no instante t = 1 ;
  3. A aceleração num instante t qualquer no ponto P 1

Passo 1

Item A)

Pela equação da linha de corrente nós temos:

d x v x = d y v y

d x x / t = d y y / t

Simplificando:

d x x = d y y

Integrando:

ln ⁡ x + C A = ln ⁡ y + C B

Fazendo um pouco de álgebra:

ln ⁡ x = ln ⁡ y + C C

e ln ⁡ x   = e ln ⁡ y ⋅ e C C

x = C 1 ⋅ y  

Fazemos o mesmo processo para determinar a linha de corrente com z

d x v x = d z v z

d z = 0

Integrando, temos uma constante:

z = C 2

Passo 2

Para o ponto P 1 = ( 2 ; 1 ; 2 )

x = C 1 ⋅ y ⇒ C 1 = x y = 2 1 ⇒ C 1 = 2

z = C 2 ⇒ C 2 = 2

As equações são:

x = 2 ⋅ y  

z = 2

Passo 3

Item B)

A equação da trajetória é dada por:

d x = v x d t

d x = x t d t

d x x = d t t

Integrando:

ln ⁡ x = ln ⁡ t + C D

x = K 1 ⋅ t

Para o ponto x = 2 e t = 1  

K 1 = 2  

x = 2 t

Fazemos o mesmo para y

d y = v y d t

d y = y t d t

d y y = d t t

ln ⁡ y = ln ⁡ t + C E

y = K 2 t

Para y = 1 e t = 1

K 2 = 1

y = t

E repetindo para z

d z = v z d t

d z = 0

z = K 3

Para z = 2 e t = 1

z = 2

As equações são:

x = 2 t

y = t

z = 2

Passo 4

A velocidade vetorial é dada por:

v → = v x   i → ` + v y j → + v z k →

v → = x t   i → ` + y t j →

No ponto P 1

v → = 2 t   i → ` + 1 t j →

Encontramos a aceleração derivando:

a → = d d t v →

a → = d d t 2 t   i → ` + 1 t j →

a → = d d t 2 t - 1   i → ` + t - 1 j →

a → = - 2 t - 2   i → ` - t - 2 j →

a → = - 1 t 2 2   i → ` + j →

Resposta

  1. x = 2 ⋅ y   ;

    2. z = 2

  2. x = 2 t   y = t z = 2
  3. a → = - 1 t 2 2   i → ` + j →
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