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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 53

Para a solução do escoamento em tubo, laminar, totalmente desenvolvido da Equação (4.137), encontre a função corrente com simetria axial ψ ( r , z ) . Use esse resultado para determinar a velocidade média V = Q / A no tubo como uma razão de u m á x .

Passo 1

Alô você! Preparado para mais uma?! Vamobora!

Temos da equação (4.137):

v z = - d p d z 1 4 μ R 2 - r 2

em termos de u m á x , temos, pela continuidade:

v z = u m á x 1 - r 2 R 2 = 1 r ∂ ψ ∂ r

Por separação de variáveis:

ψ = u m á x r 2 2 - r 4 4 R 2 + f ( Z )

Pegando v r = 0 , teremos pela continuidade:

v r = 0 = - 1 r ∂ ψ ∂ z = 0 + d f d z → f z = c o n s t a n t e

Assim,

ψ = u m á x r 2 2 - r 4 4 R 2

Passo 2

Podemos encontrar o fluxo agora, em coordenadas polares, assim:

Q 0 - R = 2 π u m á x R 2 2 - R 4 4 R 2 - u m á x 0 - 0 = π 2 R 2 u m á x

Assim, a velocidade média é dada por:

V m é d i a = Q A = π 2 R 2 u m á x π R 2 = 1 2 u m á x

Resposta

V m é d i a = Q A = π 2 R 2 u m á x π R 2 = 1 2 u m á x

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