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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 1

Dado o campo de velocidade v x = α x ; v y = β y ; v z = 0 , determinar as trajetórias de corrente

Passo 1

As linhas de trajetória são determinadas por:

d x = v x d t

Vamos aplicar os valores de velocidade na equação:

d x = α x ⋅ d t

Organizando:

d x x = α ⋅ d t

Aplicamos as integrais de ambos os lados pra cada uma das equações:

ln ⁡ x + C 1 x = α t + C 2 x

Podemos colocar as constantes apenas no lado direito e uni-las

ln ⁡ x = α t + C x

Encontramos o valor de x :

x = e α t + C x

x = e α t ⋅ e C x

O valor de e C x é uma nova constante:

x = x 0 e α t

E repetimos o mesmo processo para y :

d y = v y d t

d y = β y ⋅ d t

d y y = β ⋅ d t

ln ⁡ y + C 1 y = β t + C 2 y

ln ⁡ y = β t + C y

y = e β t + C y

y = y 0 e β t

E para z :

d z = v z d t

d z = 0 ⋅ d t

d z = 0

z + C 1 z = C 2 z

z = z 0

Passo 2

A linha de corrente por.

d x v x = d y v y

Aplicando os valores:

d x α x = d y β y

Integrando:

1 α ln ⁡ x + K 1 = 1 β ln ⁡ y + K 2

Fazendo um pouco de álgebra:

ln ⁡ x = α β ln ⁡ y + K

e ln ⁡ x = e α β ln ⁡ y + K

e ln ⁡ x = e α β ln ⁡ y ⋅ e K

e ln ⁡ x = e α β ln ⁡ y ⋅ C 1

Chegamos em:

x = C 1 ⋅ y α / β

Passo 3

Para encontras as linhas de corrente para z:

d x x = d z z

d z = 0

z = C 2

Resposta

  1. x = x 0 e α t ; y = y 0 e β t ; z = z 0
  2. x = C 1 ⋅ y α / β ; z = C 2
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