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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 58

Mostre que o potencial de velocidade incompressível no plano em coordenadas polares ϕ ( r , θ ) é tal que

v r = ∂ ϕ ∂ r             v θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ

Depois mostre que a velocidade angular em torno do eixo z nesse escoamento seria dada por

2 ω z = 1 r ∂ ∂ r r v θ - 1 r ∂ ∂ θ v r

Por fim mostre que ϕ como é definida aqui satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares para escoamento incompressível.

Passo 1

EEEE SIMBORA PRA MAIS UMA! Vamos lá!

Se temos um potencial de velocidade, teremos a irrotacionalidade sendo satisfeita. Assim, teremos que:

1 r ∂ ∂ r r v θ - 1 r ∂ u r ∂ θ = 0

Substituindo, teremos que:

1 r ∂ ∂ r ∂ ϕ ∂ θ - 1 r ∂ ∂ θ ∂ ϕ ∂ r = 0 → 1 r ∂ 2 ϕ ∂ θ ∂ r = 0

Logo, satisfazemos a irrotacionalidade.

Passo 2

Bora testar agora a velocidade angular, assim:

2 ω z = 1 r ∂ ∂ r r v θ - 1 r ∂ ∂ θ v r

2 ω z = 1 r ∂ ∂ r ∂ ϕ ∂ θ - 1 r ∂ ∂ θ ∂ ϕ ∂ r = 1 r ∂ 2 ϕ ∂ θ ∂ r = 0

Isso acaba satisfazendo, pois como é irrotacional, a velocidade angular tem de ser zero!

Passo 3

Pela equação de Laplace, teremos também sendo satisfeita! Estando as outras satisfeitas e pela equação abaixo!

∇ 2 ϕ = 1 r ∂ ∂ r r ∂ ϕ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 ϕ ∂ θ 2   = 0  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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