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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 6

É dado o potencial de velocidades em coordenadas polares no plano f 5 Br2cos(2u), sendo B uma constante. (a) Mostre que existe também uma função corrente. (b) Encontre a forma algébrica de c(r, u). (c) Encontre todos os pontos de estagnação neste campo de escoamento.

Passo 1

Primeiro, vamos resolver a letra (a).

Pra começar, vamo achar as velocidades partir ϕ = B r 2 cos ⁡ ( 2 θ ) :

v r = ∂ ϕ ∂ r = 2 B r cos ⁡ ( 2 θ )

v θ = 1 r ∂ ϕ ∂ θ = - 2 B r sen ⁡ ( 2 θ )

Vamos checar se essa equação satisfaz a equação da continuidade:

∂ ∂ r r v r + ∂ ∂ θ v θ

∂ ∂ r 2 B r ² cos ⁡ ( 2 θ ) + ∂ ∂ θ - 2 B r sen ⁡ ( 2 θ )

4 B r cos ⁡ ( 2 θ ) + - 4 B r cos ⁡ 2 θ = 0

Como a equação da continuidade é satisfeita, então existe uma função corrente ψ .

Passo 2

Pra resolver a letra (b), vamos achar ψ a partir de sua definição:

v r = 1 r ∂ ψ ∂ θ = 2 B r cos ⁡ ( 2 θ )

v θ = - ∂ ψ ∂ r = - 2 B r sen ⁡ ( 2 θ )

Integrando qualquer uma das duas equações, vamos obter:

ψ = B r 2 sen ⁡ 2 θ

Passo 3

Pra resolver a letra (c), basta dizer que se a gente fizer v θ = 0 no Passo 1, nós descobrimos que o único ponto de estagnação é na origem, r = 0 .

Resposta

As respostas das letras (a), (b) e (c) estão demonstradas, respectivamente, nos Passos 1,2 e 3

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