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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 35

Deduza a equação da difusão térmica, Equação 2.26, para coordenadas cilíndricas partindo do volume de controle diferencial mostrado na Figura 2.12.

Passo 1

Na Figura 2.12 nós temos um sistema tridimensional descrito por coordenadas cilíndricas ( r , ϕ ,   z )   que experimenta uma condução transitória e geração interna de calor.

E a partir desse sistema, queremos encontrar a equação de difusão de calor. Então vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão nós vamos considerar que o meio é homogêneo, beleza? Considerando que o volume de controle diferencial é um volume dado como:

  V   =   d r ⋅ r d ϕ ⋅ d z .

Da conservação de energia requerida, temos:

q r - q r + d r + q ϕ - q ϕ + d ϕ + q z - q z + d z + E ˙ g = E ˙ s t

Os termos de geração e armazenamento, ambos representando fenômenos volumétricos, são:

E ˙ g = q ˙ V = q ˙ ( d r ⋅ r d ϕ ⋅ d z )

E ˙ g = ρ V c ∂ T ∂ t = ρ ( d r ⋅ r d ϕ ⋅ d z ) c ∂ T ∂ t

Usando a expansão de série de Taylor, temos:

q r + d r = q r + ∂ ∂ r q r d r

q ϕ + d ϕ = q ϕ + ∂ ∂ ϕ q ϕ d ϕ

q z + d z = q z + ∂ ∂ z q z d z

Passo 3

Usando a Lei de Fourier, a expressão para condução de calor é:

q r = - k A r ∂ T ∂ r = - k ( r d ϕ ⋅ d z ) ∂ T ∂ r

q ϕ = - k A ϕ ∂ T r ∂ ϕ = - k ( d r ⋅ d z ) ∂ T r ∂ ϕ

q z = - k A z ∂ T ∂ z = - k ( r d ϕ ⋅ d r ) ∂ T ∂ z

Das equações acima, à direita, vemos que o gradiente na direção ϕ é ∂ T   /   r ∂ φ e não ∂ T   /   ∂ φ . Substituindo essas equações, junto com as equações de geração e armazenamento na equação de conservação de energia requerida, temos:

- ∂ ∂ r q r d r - ∂ ∂ ϕ q ϕ d ϕ - ∂ ∂ z q z d z + q ˙ d r ⋅ r d ϕ ⋅ d z = ρ d r ⋅ r d ϕ ⋅ d z c ∂ T ∂ t

Substituindo as equações para condução de calor:

- ∂ ∂ r - k ( r d ϕ ⋅ d z ) ∂ T ∂ r d r - ∂ ∂ ϕ - k ( d r ⋅ d z ) ∂ T r ∂ ϕ d ϕ - ∂ ∂ z - k ( r d ϕ ⋅ d r ) ∂ T ∂ z d z + q ˙ d r ⋅ r d ϕ ⋅ d z = ρ d r ⋅ r d ϕ ⋅ d z c ∂ T ∂ t

Eu sei que está feio, mas podemos dividir essa expressão por V e obter:

1 r   ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r + 1 r 2 ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ   + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c ∂ T ∂ t

Bem melhor, né?

Resposta

1 r   ∂ ∂ r k r ∂ T ∂ r + 1 r 2 ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ   + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c ∂ T ∂ t

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