Enunciado

Para desembaçar a janela traseira de um automóvel, um elemento fino e transparente de aquecimento é ligado à superfície interna da janela. O fluxo de calor uniforme de 1300   W / m 2 é fornecido para o elemento de aquecimento desembaçar a janela traseira com espessura de 5 mm. A temperatura interior do automóvel é 22 °C, e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 1 5   W / m 2 ⋅ K . A temperatura ambiente fora está a 5 °C, e o coeficiente de transferência de calor por convecção 10 0   W / m 2 ⋅ K . Considerando que a condutividade térmica da janela é 1 , 2   W / m ⋅ K , determine a temperatura da superfície interna da janela.

Passo 1

Nosso ponto de partida é colocar as hipóteses do nosso problema. São elas que possibilitam a sua solução!

Portanto, temos um problema de transferência de calor em regime permanente, unidimensional e condutividade térmica constante.

Podemos associar este problema a noção de resistências elétricas. O calor fluirá da superfície interna para a superfície interna, devido ao gradiente de temperaturas. Portanto, temos 3 elementos no nosso circuito: uma resistência de convecção da superfície interna para o vidro; uma resistência térmica de condução; e a convecção na superfície externa. Além disto, temos a presença de um fluxo adicional de calor, antes da janela.

Podemos representar esta situação através da seguinte figura:

Calculando as resistências térmicas, temos:

R c o n v 1 = 1 h 1 = 1 1 5 = 0,0 666   K ⋅ m 2 / W

R c o n d = L k = 5 ⋅ 10 - 3 1,2 = 0,00 416   K ⋅ m 2 / W

R c o n v 2 = 1 h 2 = 1 100 = 0,01   K ⋅ m 2 / W

Percebam que calculamos a resistência térmica por unidade de área pois este dado não foi fornecido na questão. Inclusive, ele não será necessário.

Agora, basta aplicarmos as fórmulas da condução para obtermos tanto a taxa de transferência de calor quanto a temperatura da superfície interna do vidro.

Passo 2

Após a primeira resistência térmica, a relacionada a convecção do ambiente interno, temos a adição de um novo fluxo de calor. Portanto, o fluxo de calor dos dois elementos seguintes é exatamente igual ao fluxo de calor na resistência R c o n v 1 somada ao fluxo adicional.

Portanto, escrevendo esta relação matematicamente, temos:

T ∞ 1 - T s 1 R c o n v 1 + q ˙ = T s 1 - T ∞ 2 R c o n d + R c o n v 2

Substituindo os valores das constantes e resolvendo para T s 1 , que representa a temperatura na superfície interna da janela, temos:

22 - T s 1 0,0666 + 1300 = T s 1 - - 5 0,00416 + 0,01

330 - 15 T s 1 + 1300 = 70,59 T s 1 + 352,95

T s 1 = 14,9   ° C

OBS: percebam que o texto nos diz que a temperatura externa é 5 °C, mas na figura da questão este valor é igual a -5 °C. Portanto, para os cálculos desta questão, foi utilizado o valor de -5 °C.

Resposta

A temperatura na superfície interna da janela é:

T s 1 = 14,9   ° C

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