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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 36

Desenvolva a equação da difusão térmica, Equação2.27, em coordenadas esféricas, a partir do volume de controle diferencial mostrado na Figura 2.13.

Passo 1

E ai meus amores nessa questãozinha “Pegue o que puder, sem nada a devolver” okay?

Vamos aplicar o balanço de energia ao sistema

E ˙ i n + E ˙ g - E ˙ o u t = E ˙ s t

Onde, a entrada de energia é E ˙ i n

A saída de energia é E ˙ o u t

A taxa de geração de energia térmica é E ˙ g

E a taxa de armazenamento de energia é E ˙ s t

Considerando a expressão para o fluxo de calor, teremos

E ˙ i n = q r + q ϕ + q z

Onde, as taxas de calor por condução na direção r ,   ϕ   e   z da face de entrada do elemento são q r ,   q ϕ   e   q z respectivamente.

Para a saída de calor, teremos a seguinte expressão

E ˙ o u t = q r + d r + q ϕ + d ϕ + q z + d z

Onde, as taxas de calor por condução na direção r ,   ϕ   e   z da face de entrada do elemento são q r + d r ,   q ϕ + d ϕ   e   q z + d z respectivamente.

Passo 2

Vamos considerar a expressão para a taxa de geração de energia térmica

E ˙ g e n = q d V

Considerando a expressão para o armazenamento de energia

ρ c p ∂ T d t d V

Agora vamos substituir as expressões que encontramos no passo 2, show?

q r + q ϕ + q z + q ˙ d V - q r + d r + q ϕ + d ϕ + q z + d z = ρ c p ∂ T d t d V

Passo 3

Agora iremos escrever a taxa de calor por condução na direção de r em um material isotrópico pela lei de Fourier

q r = - k d A r ∂ T ∂ r

= - k r d θ r sin ⁡ θ d ϕ ∂ T ∂ r

= - k r 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ ∂ T ∂ r

Onde a área da face na direção de r é d A r e o comprimento do volume elementar nas direções ϕ   e   θ , são r s i n   θ d ϕ   e   r d θ .

Vamos escrever a taxa de calor por condução na direção θ , em um material isotrópico pela lei de Fourier

q θ = - k d A θ ∂ T ∂ r θ

= - k d A r ∂ T ∂ θ

= - k r r sin ⁡ θ d θ d r ∂ T ∂ θ

Vamos escrever a taxa de calor por condução na direção ϕ , em um material isotrópico pela lei de Fourier

q ϕ = - k ( d A ) ∂ T d ( r sin ⁡ θ ϕ )

= - k d A ∂ T r sin ⁡ θ ∂ ϕ

= - k ( r d θ d r ) r s i n   θ ∂ T ∂ ϕ

Passo 4

Vamos escrever a expressão para o volume do elemento diferencial

d V = r d ϕ d r d z

  = ( d r ) ( r d θ   ) ( r   s i n θ d   ϕ )  

= r 2 sin ⁡ θ d r d θ d ϕ

Usaremos a expansão da série de Taylor na expressão a seguir, e desprezaremos os termos superiores.

E ˙ o u t = q r + d r + q ϕ + d ϕ + q z + d z

q r + d r + q ϕ + d ϕ + q z + d z = q r + ∂ q ∂ r d r + q ϕ + ∂ q ∂ ϕ d ϕ + q z + ∂ q ∂ z d z

Passo 5

Vamos diferenciar as seguintes equações, para obter as derivadas do fluxo de calor em diferentes direções.

= - k r 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ ∂ T ∂ r

= - k r r sin ⁡ θ d θ d r ∂ T ∂ θ

= - k ( r d θ d r ) r s i n   θ ∂ T ∂ ϕ

Diferenciando

- ∂ q r d r = - ∂ ∂ r - k r 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ ∂ T ∂ r

= sin ⁡ θ d ϕ d θ ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r  

- ∂ q θ d θ = - ∂ ∂ θ - k r r sin ⁡ θ d ϕ d r ∂ T ∂ θ

= d ϕ d r ∂ ∂ θ k s i n   θ ∂ T ∂ θ  

- ∂ q ϕ ∂ ϕ = - ∂ ∂ ϕ - k d r d z sin ⁡ θ ∂ T ∂ ϕ

= d r d z sin ⁡ θ ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ  

Passo 6

Manipulando essa outra expressão, teremos

q r + q ϕ + q z + q ˙ d V - q r + d r + q ϕ + d ϕ + q z + d z = ρ c p ∂ T d t d V

d r s i n   θ d θ d ϕ ∂ q ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + ( d ϕ ) ( d r d θ ) ∂ ∂ θ k s i n   θ ∂ T ∂ θ + d ϕ d r d z sin ⁡ θ ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ   + q ˙ r 2 sin ⁡ θ d ϕ d r d θ

= ρ c p ∂ T ∂ t   r 2 sin ⁡ θ d ϕ d r d θ

Passo 7

Agora pra finalizar o exercício iremos substituir essas 3 equações diferenciadas que encontramos na seguinte fórmula

= ρ c p ∂ T ∂ t   r 2 sin ⁡ θ d ϕ d r d θ

Logo, vamos dividir essa expressão por r 2 sin ⁡ θ d ϕ d r d θ

1 r 2 ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ ∂ ϕ k ∂ T ∂ ϕ + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ k s i n   θ ∂ T ∂ θ + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t

Sendo assim, a equação de difusão de calor com geração de calor em coordenadas cilíndricas foi derivada.

Depois dessa questão, “Ninguém se mexe” Meu cérebro caiu.”

Haha bora pra proximaaaa

Resposta

Resposta nos passos.

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