Desenvolva a equação da difusão térmica, Equação 2.24, em coordenadas cilíndricas, a partir do volume de controle diferencial mostrado na Figura 2.12.

Vamos aplicar o balanço de energia ao sistema

Onde, a entrada de energia é

A saída de energia é

A taxa de geração de energia térmica é

E a taxa de armazenamento de energia é

Considerando a expressão para o fluxo de calor, teremos

Onde, as taxas de calor por condução na direção da face de entrada do elemento são respectivamente.

Para a saída de calor, teremos a seguinte expressão

Onde, as taxas de calor por condução na direção da face de entrada do elemento são respectivamente.

Vamos considerar a expressão para a taxa de geração de energia térmica

Considerando a expressão para o armazenamento de energia

Agora vamos substituir as expressões que encontramos no passo 2, show?

Agora iremos escrever a taxa de calor por condução na direção de r em um material isotrópico pela lei de Fourier

Onde a área da face na direção de r é e o comprimento do volume elementar nas direções , são .

Vamos escrever a taxa de calor por condução na direção , em um material isotrópico pela lei de Fourier

Vamos escrever a taxa de calor por condução na direção de z em um material isotrópico pela lei de Fourier

Onde, a área da face na direção de z é .

Vamos escrever a expressão para o volume do elemento diferencial

Usaremos a expansão da série de Taylor na expressão a seguir, e desprezaremos os termos superiores.

Manipulando essa outra expressão, teremos

Vamos diferenciar as seguintes equações, para obter as derivadas do fluxo de calor em diferentes direções.

Diferenciando

Agora pra finalizar o exercício iremos substituir essas 3 equações diferenciadas que encontramos na seguinte fórmula

Logo, vamos dividir essa expressão por

Sendo assim, a equação de difusão de calor com geração de calor em coordenadas cilíndricas foi derivada.

“OK, isso foi legal.”