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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 12

Determinar a relação entre a velocidade constante de subida de uma bolha de ar de diâmetro 1mm dentro da água e a velocidade constante de descida de uma gota de água de mesmo diâmetro no ar. Dados: ρ = 1   k g / m 3 ; ρ H 2 O = 1000   k g / m 3 ; C a = 0,5

Passo 1

Dados da questão:

  • Diâmetro: d = 1   m m
  • Densidade do ar: ρ = 1   k g / m 3
  • Densidade da água: ρ H 2 O = 1000   k g / m 3
  • Coeficiente de arrasto: C a = 0,5

Note que em cada um dos casos vamos fazer algumas considerações. Devido à baixa densidade do ar, podemos desconsiderar o peso da bolha de ar, e podemos desconsiderar o empuxo que o ar gera numa gota.

A questão pede: A razão entre as velocidades

Passo 2

Para a bolha nós temos:

E = F a

Substituindo as fórmulas do empuxo e do arrasto:

ρ H 2 O ⋅ g ⋅ V b o l h a = C a ⋅ ρ H 2 O ⋅ v b o l h a 2 ⋅ A 2

Substituindo a equações do volume e da área:

ρ H 2 O ⋅ g ⋅ 1 8 π D 3 = C a ⋅ ρ H 2 O ⋅ v b o l h a 2 ⋅ π D 2 4 2

Simplificando a equação:

v b o l h a 2 = g D C a

Aplicando os valores:

v b o l h a = 10 m s 2 ⋅ 10 - 3   m 0,5

v b o l h a = 0,02 m s

Passo 3

Para a gota de água:

P = F a

Substituindo as fórmulas do peso e do arrasto:

ρ H 2 O ⋅ g ⋅ V g o t a = C a ⋅ ρ ⋅ v g o t a 2 ⋅ A 2

Substituindo a equações do volume e da área:

ρ H 2 O ⋅ g ⋅ 1 8 π D 3 = C a ⋅ ρ ⋅ v g o t a 2 ⋅ π D 2 4 2

Simplificando a equação:

v g o t a 2 = ρ H 2 O ⋅ g ⋅ D C a ⋅ ρ

Aplicando os valores:

v g o t a = 1000 k g m 3 ⋅ 10 m s 2 ⋅ 10 - 3   m 0,5 ⋅ 1 k g m 3

v g o t a = 20 m s

Passo 4

Dividindo as velocidades:

v g o t a v b o l h a = 20 0,02

v g o t a v b o l h a = 31,62

Resposta

v g o t a v b o l h a = 31,62

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