Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 5

A proposed harmonic function F(x, y, z) is given by

F 5 2x2 1 y3 2 4xz 1 f(y)

(a) If possible, fi nd a function f (y) for which the laplacian

of F is zero. If you do indeed solve part (a), can your final

function F serve as (b) a velocity potential or (c) a stream

function?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

(a) A função harmônica é dada como

F = 2 x 2 + y 3 - 4 x z + f ( y )

Quando laplaciano de F é zero.

∇ 2 F = 0 ∂ 2 F ∂ x 2 + ∂ 2 F ∂ y 2 + ∂ 2 F ∂ z 2 = 0 . . . ( 1 )

Calcular Diferenciação parcial de cada termo,

∂ 2 F ∂ x 2   = ∂ ∂ x ∂ F ∂ x   = ∂ ∂ x ∂ ∂ x 2 x 2 + y 3 - 4 x z + f ( y )   = ∂ ( 4 x ) ∂ x - ∂ z ∂ x   = 4 ∂ 2 F ∂ y 2   = ∂ ∂ y ∂ F ∂ y   = ∂ ∂ y ∂ ∂ y 2 x 2 + y 3 - 4 x z + f ( y )   = ∂ 3 y 2 ∂ y + ∂ f ' ( y ) ∂ y   = 6 y + f ' ' ( y ) ∂ 2 F ∂ z 2   = ∂ ∂ z ∂ F ∂ z   = ∂ ∂ z ∂ ∂ z 2 x 2 + y 3 - 4 x z + f ( y )   = 0 ∂ z ∂ x

Passo 2

Substitua cada termo na equação (1).

∂ 2 F ∂ x 2 + ∂ 2 F ∂ y 2 + ∂ 2 F ∂ z 2 = 0 4 + 6 y + f ' ' ( y ) = 0 f ' ' ( y ) = - 4 - 6 y

Integre duplamente a expressão acima.

f ( y )   = ∫   ∫   ( - 4 - 6 y ) d y d y   = ∫   - 4 y - 3 y 2 d y   = - 2 y 2 - y 3 + C 1 y + C 2

Tome C = C 1 y + C 2 . Aqui C está uma constante de integração. Portanto, a expressão final de f ( y ) é - 2 y 2 - y 3 + C . Substitua a função f ( y ) na função harmônica.

F   = 2 x 2 + y 3 - 4 x z + f ( y )   = 2 x 2 + y 3 - 4 x z - 2 y 2 - y 3 + C   = 2 x 2 - 4 x z - 2 y 2 + C

Portanto, a função harmônica F é 2 x 2 - 4 x z - 2 y 2 + C

Passo 3

(b) Uma vez que a função laplaciana é igual a zero

∇ 2 F = 0

Suponha que um campo de velocidade V é um gradiente de uma função escalar F , então

V   = ∇ F   = i ˆ ∂ F ∂ x + j ˆ ∂ F ∂ y + k ˆ ∂ F ∂ z   = i ˆ ( 4 x - 4 z ) - j ˆ 4 y - k ˆ 4 x   = 4 [ i ˆ ( x - z ) - j ˆ y - k ˆ x ]

Se F for o potencial de velocidade de V , então

∇ × V   = 0 ∇ × V   = i ˆ ∂ ∂ x + j ˆ ∂ ∂ y + k ˆ ∂ ∂ z × 4 [ i ˆ ( x - z ) - j ˆ y - k ˆ x ]   = 4 ( 0 + 0 + j ˆ + 0 + 0 + 0 - j + 0 + 0 )   = 0

Assim, a função laplaciana F é um potencial de velocidade.

Passo 4

(c) Como a função harmônica F é tridimensional; não é uma função de fluxo.

Resposta

a) f ( y ) = - 2 y 2 - y 3 + C 1 y + C 2 e F = 2 x 2 - 4 x z - 2 y 2 + C

b) a função laplaciana F é um potencial de velocidade

c) não é uma função de fluxo

Exercícios de Livros Relacionados

Um semicorpo de Rankine de revolução (Figura 8.31) pode simular o formato de um tubo de Pitot estático (figura 6.30). Segundo a teoria não viscosa, a que distância a jusante do nariz deveria ser posic
Suponha que uma esfera com um orifício de estagnação simples é usada como velocímetro. A pressão nesse orifício é usada para calcular a velocidade U da corrente, mas há erros se a corrente não estiver
Considere um cilindro de raio a movendo-se à velocidade U ∞ através de um fluido parado, como na figura abaixo. Trace as linhas de corrente relativas ao cilindro, modificando a equação 8.37 para obter
Considere uma esfera de aço (d = 7,85) de 2 cm de diâmetro liberada a partir do repouso na água a 20°C. Admita que o coeficiente de arrasto seja C A = 0,47 . Levando em conta a massa hidrodinâmica da
Na tabela 7.2, o coeficiente de arrasto de um cilindro elíptico 4:1, para escoamento laminar na camada limite é 0,35. Segundo Patton [17], a massa hidrodinâmica desse cilindro é π ρ h b / 4 , em que b